热点3-1 导数的概念与几何意义8大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点3-1 导数的概念与几何意义8大题型 导数是高考数学的必考内容，对于导数的概念与运算要求学生能够利用基本初等函桉树的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数，能求复合函数的导数。从近三年的高考情况来看，预测今年高考将会涉及导数的运算及几何意义，以选择填空题的形式考察导数的意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档。 一、求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 二、复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作. 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 3、求复合函数导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回。 4、求复合函数的导数注意以下几点： （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁。 【题型1 导数的定义及应用】 【例1】（2022秋·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）设在处可导，下列式子与相等的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）（2022·辽宁鞍山·一模）设函数在处的导数存在，则（ ）. A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）设函数在点处的切线方程为，则（ ） A．4 B．2 C．1 D． 【变式1-3】（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数，则（ ） A． B． C．2 D． 【变式1-4】（多选）（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-5】（多选）（2022秋·湖南长沙·高三统考阶段练习）若存在，则称为二元函数在点处对x的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对y的偏导数，记为. 若二元函数，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．的最小值为 D． 的最小值为 【题型2 求函数的导数】 【例2】（2022秋·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）函数的导函数为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·上海静安·统考一模）已知函数，则函数的导数____________． 【变式2-2】（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第七中学校考阶段练习）已知，则__________. 【变式2-3】（多选）（2021秋·湖北武汉·高三校联考阶段练习）下列等式错误的是（ ） A． B． C． D． 【题型3 “在”点P处的切线问题】 【例3】（2022秋·江苏南京·高三南京市第一中学校联考期末）函数在处的切线方程是______． 【变式3-1】（2023·广西柳州·二模）曲线在处的切线的斜率为______. 【变式3-2】（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）若函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A．1 B．0 C．－1 D．e 【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程是______． 【变式3-4】（2022秋·贵州遵义·高三统考阶段练习）若函数在处切线方程为，则实数（ ） A． B． C．2 D．0 【题型4 “过”点P出的切线问题】 【例4】（2023秋·山东烟台·高三统考期末）过点且与曲线相切的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2022秋·云南昆明·高三校考阶段练习）若经过原点作曲线的切线，求切线方程为______．