上海市晋元高级中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试卷

上海市晋元高级中学2021-2022学年高二上10月 月考数学试卷 一、填空题(本大题满分36分,本大题共有12题) 1.三条直线两两相交,由这三条直线所确定的平面的个数是 . 2.如果一条直线和两条异面直线中的一条平行,那么它和另一条直线的位置关系是 . 3.已知上海地处东经至,则上海所辖区域的经线对应的两半平面所成的二面角的大小是 . 4.如果两个球的体积之比为,那么两个球的表面积之比为 . 5.已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的侧面积为 . 6.如图,以长方体的顶点为坐标原点,过的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为,则的坐标是 . 7.已知,,是半径为1的球的球面上的三个点,且,,则三棱锥的体积为 . 8.如图,圆锥形容器的高为,圆锥内水面的高为,且,若将圆锥的倒置,水面高为,则等于 . 9.如图,是边长为的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,得、、、四个点重合于图中的点,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,、在上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设.若要使包装盒的侧面积最大,则的值为 . 10.如图,在正方体中,点在线段上运动,异面直线与所成的角为,则的最小值为 . 11.如图,在棱长为的正方体中,分别是正方形的中心,在线段上,,则过点的正方体的截面的面积是 . 12.如图,直四棱柱中,底面,四边形为梯形,,且,过,,三点的平面记为,与平面的交点为.则此四棱柱被平面分成上、下两部分的体积之比为 . 二、选择题(本大题满分12分,本大题共有4题) 13.给出以下关于斜二测直观图的结论,其中正确的个数是 ①角的水平放置的直观图一定是角; ②相等的角在直观图中仍然相等; ③相等的线段在直观图中仍然相等; ④若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行. A.0 B.1 C.2 D.3 14.设是空间两条不同的直线,是空间两个不同的平面.给出下列四个命题: ①若,,,则; ②若,,,则; ③若,,,则; ④若,,,,则. 其中正确的是 A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 15.四棱锥底面为正方形,侧面为等边三角形,且侧面底面,点在底面正方形内运动,且满足,则点在正方形内的轨迹一定是 A. B. C. D. 16.平面过正方体的顶点,平面,平面,平面,则所成角的正弦值为 A. B. C. D. 三、解答题(本大题满分52分,本大题共有5题) 17.试写出直线与平面垂直的性质定理,画出图形并证明.(证明过程包括已知,求证和证明) 18.如图,已知点在圆柱的底面圆上,为圆的直径,圆柱的表面积为,,. (1)求异面直线与所成角的大小;(结果用反三角函数值表示) (2)由点拉一根细绳绕圆柱侧面到达点,求绳长的最小值. 19.某粮仓是如图所示的多面体,多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面是矩形,米,米,腰梁、、、分别与相交的底梁所成角均为. (1)请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”,并说明理由; (2)若不计粮仓表面的厚度,该粮仓可储存多少立方米粮食? 20.图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形,其中,,.将其沿,折起使得与重合,连结,如图2. (1)证明:图2中的,,,四点共面,且平面平面; (2)求图2中的二面角的大小. 21.已知点是边长为2的菱形所在平面外一点,且点在底面上的射影是与的交点,已知是等边三角形. (1)求证:; (2)求点到平面的距离; (3)若点是线段上的动点,问:点在何处时,直线与平面所成的角最大?求出这个最大角,并说明此时点所在的位置. 学科网(北京)股份有限公司 $ 上海市晋元高级中学2021-2022学年高二上10月 月考数学试卷 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1.三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面的个数是　　． 【解析】三条直线两两相交， 若三条直线交于同一点，则这三条直线确定的平面的个数是1个或3个， 若三条直线两两相交于三个不同的点，则这三条直线确定1个平面． 综上，这三条直线所确定的平面的个数为1个或3个． 2.如果一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线的位置关系是　　． 【解析】一条直线和两条平行直线中的一条是异面直线，它和另一条直线不可能平行， 故它和另一条直线的位置关系是相交或异面． 3.已知上海地处东经至，则上海所辖区域的经线对应的两半平面所成的二面角的大小是　　． 【解析】. 4.如果两个球的体积之比为，那么两个球的表面积之比为　　． 【解析】两个球的体积之比为，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似 比的平方，得两球的半径比为，从而这两个球的表面积之比为． 5.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为