第12章 复数 章末整合提升-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

一、复数的相关概念 1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提． 2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义． 角度1　复数的概念 [典题1]　已知a∈R，i为虚数单位，若＋i为实数，则a＝(　　) A．4　　　 B．3　　　 C．2　　　 D．1 [解析]　＋i＝＋i ＝＋i＝， 若该复数是实数，只需4－a＝0， 解得a＝4，故选A． [答案]　A 角度2　共轭复数 [典题2]　已知复数z1＝3＋4i，z2＝a＋i，且z1是实数，则实数a等于(　　) A． B． C．－ D．－ [解析]　复数z1＝3＋4i，z2＝a＋i， ＝a－i， 所以z1＝(3＋4i)(a－i)＝3a＋4＋(4a－3)i. 因为z1是实数，所以4a－3＝0，即a＝， 故选A． [答案]　A 角度3　复数的几何意义 [典题3]　已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4. (1)求复数z的共轭复数； (2)若ω＝z＋ai，且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围． [解析]　(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i， 所以复数z的共轭复数为－2－4i. (2)ω＝－2＋(4＋a)i，复数ω对应向量为(－2，4＋a)，其模为＝. 又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2，由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，即a2＋8a≤0， 亦即a(a＋8)≤0， 所以实数a的取值范围是－8≤a≤0. 二、复数的运算 复数四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化．复数的代数运算与实数有密切联系，但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用． 复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则，化虚为实，充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化． [典题4]　设i是虚数单位，若i(x＋yi)＝，x，y∈R，则复数x＋yi的共轭复数是(　　) A．2－i B．－2－i C．2＋i D．－2＋i [解析]　i(x＋yi)＝－y＋xi，＝＝－1＋2i，根据两复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，即x＋yi＝2＋i，其共轭复数为x－yi＝2－i，故选A． [答案]　A [典题5]　已知复数z＝(1＋2i)(－2＋i)－. (1)计算复数z； (2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求实数a，b的值． [解析]　(1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－＝－4－3i－＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i. (2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0， ∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0， ∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0， ∴ 解得a＝3，b＝－14. 三、复数与其他知识的交汇问题 复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与方程、函数、数列、解析几何等知识的交汇． [典题6]　已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)． (1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹； (2)求方程实根的取值范围． [解析]　(1)设实根为t， 则t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)， 即(t2＋2t＋2xy)＋(t＋x－y)i＝0. 根据复数相等的充要条件， 得 由②得t＝y－x， 代入①得(y－x)2＋(y－x)＋2xy＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.③ 所以所求的点的轨迹方程是 (x－1)2＋(y＋1)2＝2， 轨迹是以点(1，－1)为圆心，为半径的圆． (2)由③得圆心为(1，－1)，半径r＝， 直线t＝y－x与圆有公共点， 从而应有≤， 即|t＋2|≤2， ∴－4≤t≤0， 故方程实根的取值范围是[－4,0]． 误用判别式求解复数方程 [典例]　已知关于x的方程x2＋kx＋k2－2k＝0有一个模为1的虚根，求实数k的值． [错解]　设两根分别为z1，z2， 则z2＝，|z2|＝|z1|＝1得，z1·z2＝1. 又z1·z2＝k2－2k，所以k2－2k＝1， 即k1＝1－，k2＝1＋. [正解]　由题意，得Δ＝k2－4(k2－2k)＝－3k2＋8k<0，即k<0或k>. 设两根分别为z1，z2，则z2＝，|z2|＝|z1|＝1，得z1·z2＝1. 又z1·z2＝k2－2k，所以k2－2k＝1， 即k1＝1－，k2＝1＋(舍去)， 所以k＝1－. [