第11章 解三角形 章末整合提升-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

解三角形 一、利用正、余弦定理解三角形 解三角形问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理解决． 解斜三角形通常有以下四种类型 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角 (如a，∠B，∠C) 正弦定理 由∠A＋∠B＋∠C＝180°求出∠A，由正弦定理求出b与c.只有一解 两边和夹角 (如a，b，∠C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求出第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由∠A＋∠B＋∠C＝180°求出另一角．只有一解 三边 (a，b，c) 余弦定理 由余弦定理求出∠A，∠B，再利用∠A＋∠B＋∠C＝180°求出∠C． 在有解时只有一解 两边和其中一边的对角(如a，b，∠A) 正弦定理 或余弦定理 由正弦定理求出∠B，由∠A＋∠B＋∠C＝180°求出∠C，再利用正弦定理求出边c，可有两解、一解或无解．也可根据余弦定理，列出关于c的一元二次方程，解方程求边c，然后应用正弦定理或余弦定理求出其他元素 [典题1]　(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)． (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长． [解析]　(1)证明　已知sin C sin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可化简为sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin B sin Ccos A－sin B cos Csin A， 由正弦定理可得accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，即accos B＝2bccos A－abcos C， 由余弦定理可得ac＝2bc－ab，即2a2＝b2＋c2. (2)由(1)可知b2＋c2＝2a2＝50， cos A＝＝＝＝，∴2bc＝31， ∵b2＋c2＋2bc＝(b＋c)2＝81，∴b＋c＝9， ∴a＋b＋c＝14，∴△ABC的周长为14. 二、三角形中的几何计算与证明 三角形中计算问题主要涉及三角形的边长、角度及面积的计算和三角形形状的判断．在三角形的面积公式中，S＝absin C＝acsin B＝bcsin A是最常用的，因为公式中既有边也有角，容易与正弦定理、余弦定理联系起来． 几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，利用正、余弦定理解决问题．解决此类问题的关键是构造三角形，将已知量与待求量集中在同一个三角形中，依次解三角形求解． 角度1　判断三角形的形状 [典题2]　在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状． [解析]　由已知，得a2·＝b2·.又由正弦定理，得sin2A·＝sin2 B·，即＝.所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B．所以2A＝2B或2A＋2B＝180°，所以A＝B或A＋B＝90°.即△ABC是等腰三角形或直角三角形． 角度2　三角形的面积及最值问题 [典题3]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A． (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． [解析]　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A． 因为sin A≠0，所以sin＝sin B． 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos， 故cos＝2sincos. 因为cos≠0，故sin＝，又B∈(0°，180°)，因此B＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a. 由正弦定理得 a＝＝＝＋. 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由(1)知A＋C＝120°， 所以30°<C<90°，故<a<2， 从而<S△ABC<. 因此，△ABC面积的取值范围是. 三、恒等式的证明 证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决． [典题4]　在△ABC中，求证： (1)＝； (2)a2＋b2＋c2＝2(bccos A＋cacos B＋abcos C)． [证明]　(1)根据正弦定理， 左边＝ ＝＝右边， 即原等式成立． (2)根据余弦定理，右边＝ 2 ＝(b2＋c2－a2)＋(c2＋a2－b2)＋(a2＋b2－c2) ＝a2＋b2＋c2＝左边，即原式成立． 四、正、余弦定理在实际问题中的应用 解三角形知识在实际中的应用主要是解决生活中的测量问题，即测量不可到达的两地距离、高度问题、航行问题中的方位角等．解题的途径是通过理解题意，画出示意图，构造三角形