12.4 复数的三角形式-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

12．4　复数的三角形式* 学业标准 素养目标 1．理解复数的三角形式，掌握复数的代数表示与三角表示之间的关系．(难点) 2．掌握复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．(重点) 1．通过理解复数的三角形式及与代数形式之间的关系，培养数学抽象核心素养． 2．通过复数三角形式的乘除运算，培养数学运算核心素养. [教材梳理] 导学1　辐角与辐角主值 ◎结论形成 1．辐角 (1)定义：如图， 以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi的辐角． (2)求法：设复数z＝a＋bi(z≠0)的辐角为θ，则cos θ＝，sin θ＝，其中r＝. 2．辐角主值 (1)定义及表示：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，即0≤argz<2π. (2)唯一性：复数z的辐角的主值是确定唯一的． (3)z＝0时，其辐角是任意的． 3．两个非零复数相等的充要条件 两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等． 导学2　复数的三角形式 　复数z＝1＋i的辐角主值是多少？ [提示]　 　对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若r＝，θ为辐角，能否用r和θ表示出a，b? [提示]　a＝rcos θ，b＝rsin θ ◎结论形成 复数的三角形式 1．定义：r(cos θ＋isin θ)称为复数z 的三角形式．即z＝__r(cos_θ＋isin_θ)__，其中|z|＝r，θ为复数z的辐角． 2．__a＋bi__称为复数z 的代数形式． 导学3　复数三角形式的乘除运算 　若z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，如何求z1·z2? [提示]　z1z2＝[r1(cos θ1＋isin θ1)][r2(cos θ2＋isin θ2)] ＝r1r2[(cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2)＋i(sin θ1cos θ2＋cos θ1sin θ2)] ＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． ◎结论形成 1．复数三角形式的乘法 (1)设z1，z2的三角形式分别是：z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)， 则z1z2＝__r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]__， 即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． (2)几何意义：两个复数z1，z2相乘，可以先分别画出与z1，z2对应的向量，(假定θ1，θ2均取辐角主值，其他取值不影响讨论)，然后把向量绕点O按__逆时针方向旋转θ2__(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为__原来的r2__倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 2．复数三角形式的除法 (1)设z1，z2的三角形式分别是：z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)， 则＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](z2≠0)， 即两个复数相除，商的模等于__被除数的模除以除数的模所得的商__，商的辐角等于__被除数的辐角减去除数的辐角所得的差__． (2)几何意义：两个复数z1，z2相除，可以先画出z1，z2对应的向量，，将向量按顺时针方向旋转θ2(若θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模变为原来的倍，所得向量表示的复数就是商. [基础自测] 1．－6的辐角主值为(　　) A．0　　 B．　　 C．π　　 D．－ 解析　－6＝6(－1＋0·i)＝6(cosπ＋isinπ)，辐角主值θ＝π.故选C． 答案　C 2．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．已知复数z＝cos＋isin，则z的辐角主值为 B．复数z＝2i＋3的虚部为2i C．(＋i)6＝－64 D．复数z＝2i的三角形式为z＝2 解析　A项，z的辐角主值argz＝，错误；B项，虚部为实数2，错误；C项，(＋i)6＝[(＋i)2]3＝(2＋2i)3＝8＋3×2×(2i)2＋3×22×(2i)＋(2i)3＝－64，正确；D项，z＝2(0＋i)＝2，错误．故选A，B，D． 答案　ABD 3．复数－i的三角形式是________． 解析　－i＝cos＋isin，故复数－i的三角形式是cos＋isin. 答案　cos＋isin 4．已知|z|＝2，argz＝，则复数z＝________. 答案　－3i 题型一　复数三角形式与代数形式的互化 　把下列复数的代数形式化成三角形式，三角形式化为代数形式： (1)＋i； (2)－i. (3)4； (4)(cos 60°＋isin 60°)； [解析]　(1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，所以cos θ＝，即θ＝