12.3 复数的几何意义-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

12．3　复数的几何意义 学业标准 素养目标 1．理解复平面的有关概念及复平面内点与复数的一一对应关系． 2．掌握复数加、减法的几何意义，并能应用其解决有关问题．(重点、难点) 3．掌握复数模的定义及求模公式．(重点、难点) 1．通过学习复数的几何意义，培养数学抽象核心素养． 2．借助于复数几何意义的应用及复数的模的计算，培养直观想象和数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　复平面 　实数与数轴上的点有什么对应关系？ [提示]　一一对应 　有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应 　复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应 　复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？ [提示]　能一一对应． ◎结论形成 　复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作__复平面__，x轴叫作__实轴__，y轴叫作__虚轴__． 实轴上的点都表示__实数__，除原点外，虚轴上的点都表示__纯虚数__． 导学2　复数及复数加减法的几何意义 　平面直角坐标系中的点Z与向量有怎样的对应关系？ [提示]　一一对应 　复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？ [提示]　能一一对应． ◎结论形成 1．复数的几何意义 复数z＝a＋bi向量＝(a，b)点Z(a，b)． 2．复数加法的几何意义 如图， 设向量，分别与复数a＋bi，c＋di对应，且，不共线，以，为两条邻边画▱OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的向量就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．这就是复数加法的几何意义． 3．复数减法的几何意义 如图， 若向量，分别与复数z1，z2对应，则它们的差z1－z2对应着向量－，即向量. 如果作＝，那么点Z对应的复数就是z1－z2，这就是复数减法的几何意义． 导学3　复数的模 　向量＝(a，b)的模如何计算？ [提示]　＝. ◎结论形成 1．复数的模 如图，向量的模叫作复数z＝a＋bi的__模__(或绝对值)，记作|z|或，|z|＝|a＋bi|＝　　. 2.＝＝. 3．两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离，即 |z1－z2|＝||＝||＝. [基础自测] 1．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为(　　) A．(1，i)　　　　　　 B．(1，－i) C．(1,1) D．(1，－1) 解析　复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1，故其对应的点的坐标为(1，－1)． 答案　D 2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限．则实数m的取值范围是(　　) A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，3) 解析　由已知可得⇒⇒－3<m<1，故选A． 答案　A 3．已知复数z＝3＋2i，则＝______________________；|z|＝____________________. 解析　∵z＝3＋2i，∴＝3－2i，|z|＝＝. 答案　3－2i　 4．如图所示，在复平面内，点A对应的复数应为z，则|z|＝________. 解析　由图可知点A对应的复数z＝2－i， 故|z|＝＝. 答案　 题型一　复数与点的对应 　当k为何实数时，复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点位于： (1)x轴正半轴上； (2)y轴负半轴上； (3)第四象限的角平分线上． [解析]　∵k∈R，∴k2－3k－4，k2－5k－6都是实数． ∴复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)． (1)由题意得解得k＝6. 即k＝6时，复数z对应的点在x轴的正半轴上． (2)由题意得解得k＝4. ∴k＝4时，复数z对应的点位于y轴的负半轴上． (3)由题意得 解得k＝5. 故k＝5时，复数z对应的点位于第四象限的角平分线上． [规律方法] 求解此类问题，应根据点的位置，确定复数的实部和虚部满足的条件，然后列式求解． [触类旁通] 1．求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x轴上方． 解析　(1)点Z在复平面的第二象限内， 则解得a<－3. (2)点Z在x轴上方， 则 即(a＋3)(a－5)>0，解得a>5或a<－3. 题型二　复数加、减法的几何意义(一题多变) 　 已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i. (1)求表示的复数； (2)求表示的复数． [解析]　(1)因为＝－，所以表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)因为＝－， 所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. [母题变式]