12.2 第2课时 复数的乘方与除法运算-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

第2课时　复数的乘方与除法运算 学业标准 素养目标 1．理解复数的乘方、除法运算法则，会进行复数的乘方和除法运算．(重点) 2．会在复数范围内求解实系数一元二次方程．(难点) 1．通过学习复数的乘方和除法，培养数学运算核心素养． 2．通过学习复数乘方和除法运算所满足的运算律，培养数学抽象核心素养. [教材梳理] 导学1　复数的乘方运算 　i3，i4，i5，i6分别等于多少？ [提示]　i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1. 　in的值有规律吗？ [提示]　有周期性，以4为周期． ◎结论形成 复数的乘方 1．运算法则：对复数z，z1，z2∈C和m，n∈N*有zmzn＝__zm＋n__，(zm)n＝__zmn__，(z1z2)n＝__zz__. 2．运算规律：i为虚数单位，则 (1)i2＝__－1__，i3＝__－i__，i4＝__1__. (2)i4n＝__1__，i4n＋1＝i，i4n＋2＝__－1__，i4n＋3＝ －i. 导学2　复数的除法运算 　如果实数a，b满足(a＋bi)(1＋i)＝1，如何求a，b? [提示]　方法一是展开，利用复数相等求a，b；方法二是化为a＋bi＝，将等号右边分母化成实数，利用复数相等求解． 　如何将的分母化成实数？ [提示]　分子分母同时乘以分母的共轭复数． ◎结论形成 复数的除法 1．定义：我们把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫作复数a＋bi除以c＋di所得的商，记作或(a＋bi)÷(c＋di)． 2．运算法则：＝＝＋i. 因为c＋di≠0，所以c2＋d2≠0. 由此可见，两个复数的商仍是一个复数． 导学3　实系数一元二次方程在复数范围内的解集 　如果x2＝－4，则x＝？ [提示]　±2i 　如果x2＝－a(a>0)，则x＝？ [提示]　±i ◎结论形成 　当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程， (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个__互为共轭的虚数根__． [基础自测] 1．复数(1＋i)2(2＋3i)＝(　　) A．6－4i　　　　　　　 B．6＋4i C．－6－4i D．－6＋4i 解析　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 答案　D 2．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 解析　z＝＝＝－1＋i. 答案　A 3．复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析　＝＝1＋i，∴的共轭复数为1－i，故选B． 答案　B 4．i是虚数单位，复数＝________. 解析　＝＝＝2－i. 答案　2－i 题型一　复数的乘方运算 　已知z＝－，求z100＋z50＋1的值． [解析]　因为(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i， 所以z100＋z50＋1＝100＋50＋1 ＝100(1－i)100＋50(1－i)50＋1 ＝(－2i)50＋(－2i)25＋1＝i50－i25＋1 ＝i2－i＋1＝－i. [规律方法] 1．i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． 2．记住以下结果，可提高运算速度． (1) (1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. (2)＝－i，＝i，＝－i. [触类旁通] 1．(1)复数z＝，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为(　　) A．1　　 B．－1　　 C．i　　 D．－i (2)2020＝________. 解析　(1)z2＝2＝－1， 所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. (2)2020＝2020＝2020 ＝i2 020＝(i4)505＝1. 答案　(1)B　(2)1 题型二　复数的除法运算(一题多变) 　已知z是纯虚数，是实数，求z. [解析]　设纯虚数z＝bi(b∈R且b≠0)， 则＝＝ ＝＝＋i， 又是实数，所以b＋2＝0，即b＝－2. 所以z＝－2i. [母题变式] (变问法)本例条件变为“已知z是纯虚数，复数也是纯虚数”，求z. 解析　设纯虚数z＝bi(b∈R且b≠0)， 则＝＝ ＝＝＋i， 因为复数是纯虚数，所以＝0且≠0， 所以b＝2，所以z＝2i. [规律方法] 应用复数除法法则的两个步骤 (1)分母实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数，转化为复数乘法运算． (2)结果化为复数代数形式． [触类旁通] 2．计算6＋. 解析　原式＝6＋ ＝i6＋＝－1＋i. 题型三　在复数范围内解方程(一题多解) 　在复数范围内解下列方程． (1)x