12.2 第1课时 复数的加法、减法与乘法-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

12．2　复数的运算 第1课时　复数的加法、减法与乘法 学业标准 素养目标 1．掌握复数的加、减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算．(重点) 2．掌握复数的乘法运算法则，能熟练地进行复数的加减和乘法混合运算．(重点、难点) 1．通过复数的加法、减法与乘法运算的学习，提升数学运算核心素养． 2．通过共轭复数概念的学习及运用，培养数学抽象、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1　复数的加法与减法运算 　多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？ [提示]　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 　复数的加法满足交换律和结合律吗？ [提示]　满足． 　利用问题1的结果试说明复数加法满足交换律． [提示]　z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i， z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i， ∴z1＋z2＝z2＋z1. ◎结论形成 1．复数的加法与减法 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝　(a＋c)＋(b＋d)i　，z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__. (2)加法运算律： 设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝__z2＋z1__，(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__． 2．共轭复数 (1)定义：把实部__相等__、虚部__互为相反数__的两个复数叫作互为共轭复数． (2)表示：复数z＝a＋bi的共轭复数记作，即＝__a－bi__. (3)性质：实数的共轭复数是__它本身__． 导学2　复数的乘法运算 　两实数可以相乘，两复数可以相乘吗？ [提示]　可以． 　复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗？ [提示]　类似． 　复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律吗？ [提示]　满足． ◎结论形成 1．复数的乘法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，定义z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝__z2z1__ 结合律 (z1z2)z3＝__z1(z2z3)__ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝__z1z2＋z1z3__ [基础自测] 1．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy＝(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．－2 D．－1 解析　依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1. 答案　A 2．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i 答案　(－1＋i)(2－i)＝(－2＋1)＋(2＋1)i ＝－1＋3i. 答案　B 3．已知复数z＝2＋i，则z·＝________. 解析　∵z＝2＋i，∴＝2－i， ∴z·＝(2＋i)(2－i)＝5. 答案　5 4．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________. 解析　由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得⇒a＝－2. 答案　－2 题型一　复数的加法、减法运算 　计算： (1)(－＋i)－[(－)＋(＋)i]； (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i](a，b∈R)． [解析]　(1)(－＋i)－[(－)＋(＋)i] ＝－－(－)＋[－(＋)]i ＝－－i. (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i] ＝(a＋b)－(a－b)＋[(a－b)＋(a＋b)]i ＝2b＋2ai. [规律方法]　 复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行． [触类旁通] 1．计算：(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)； (2)若z－(－3＋5i)＝－2＋6i，求复数z. 解析　(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i＝3＋7i. (2)法一　设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z－(－3＋5i)＝－2＋6i，所以(x＋yi)－(－3＋5i)＝－2＋6i，即(x＋3)＋(y－5)i＝－2＋6i， 因此 解得于是z＝－5＋11i. 法二　由z－(－3＋5i)＝－2＋6i 可得z＝－2＋6i＋(－3＋5i)， 所以z＝(－2－3)＋(6＋5)i＝－5＋11i. 题型二　复数的乘法运算 　计算：(1)(2＋i)(2－i)； (2)(1＋2i)2. [解析]　(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(