12.1 复数的概念-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

12．1　复数的概念 学业标准 素养目标 1．了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性． 2．理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．(重点) 3．掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．(重点、难点) 1．通过复数相关概念的学习，提升数学抽象核心素养． 2．通过复数相等充要条件的应用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　复数的概念及代数表示 　方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ [提示]　没有． 　若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？ [提示]　有解(x＝±i)，但不在实数范围内． 　设想新数i和实数b相乘后再与a相加，且满足加法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？ [提示]　a＋bi(a，b∈R)的形式． ◎结论形成 1．虚数单位：为了使得方程x2＝－1有解，规定　i　的平方等于－1，即i2＝－1，称___i__为虚数单位． 2．复数：当a，b都是实数时，称__a＋bi__为复数． 3．复数的表示： 复数通常用小写字母z表示，即z＝__a＋bi__(a，b∈R)，其中a叫作复数z的__实部__，b叫作复数z的__虚部__． 导学2　复数的分类与复数相等 　复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是什么数？ [提示]　b＝0时，z＝a为实数． 　复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，z是什么数？ [提示]　当a＝0，b≠0时，z＝bi，这样的数我们称为纯虚数． 　3＋2i＞3＋i正确吗？ [提示]　不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小． ◎结论形成 1．复数的分类 (1)复数a＋bi(a，b∈R) (2)集合表示： 2．复数相等的充要条件 如果a，b，c，d都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔__a＝c__，且__b＝d__； a＋bi＝0⇔__a＝0__，且__b＝0__. [基础自测] 1．(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法不正确的是(　　) A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2 C．若b＝0，则a＋bi为实数 D．i的平方等于1 解析　对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数； 对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1； 对于D，i的平方为－1.所以A，B，D均错误． 答案　ABD 2．已知(x＋y－3)＋(y－4)i＝0，其中x，y∈R，i是虚数单位，则x＝(　　) A．1　　 B．－1　　 C．7　　 D．－7 解析　∵x，y∈R，∴由(x＋y－3)＋(y－4)i＝0， 得解得 答案　B 3．以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是(　　) A．3－3i B．3＋i C．－＋i D．＋i 解析　3i－的虚部为3，－3＋i的实部为－3，所以所求复数为3－3i. 答案　A 4．下列各题： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 解析　当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③正确；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错误． 答案　③ 题型一　复数的概念 　已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－1)i，当m为何值时： (1)z∈R? (2)z是虚数？ (3)z是纯虚数？ [解析]　(1)m2＋2m－1＝0且m－1≠0， 即m＝－1±时，z∈R. (2)当m2＋2m－1≠0且m－1≠0. 即m≠－1±且m≠1时，z为虚数． (3)当＝0且m2＋2m－1≠0， 即m＝0或－2时，z为纯虚数． [规律方法] 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意参数本身的取值范围，如分母不能为0. [触类旁通] 1．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 解析　(1)当 即m＝2时，复数z是实数； (2)当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数； (3)当 即m＝－3时，复数z是纯虚数． 题型二　复数相等的判别及应用 　已知关于x的方程x2＋x＋3m－(2x＋1)i＝0有实数根，求实数m的值及该实根． [解析]　设方程的实根为t，则t2＋t＋3m－(2t＋1)i＝0，由复数相等， 得解得 所以实数m＝，方程的实根为－. [规律方法] 设a，b，c，d∈R，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d.特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. [触类旁通] 2．已知实数x满足－x2－x＋2