11.3 余弦定理、正弦定理的应用-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

11．3　余弦定理、正弦定理的应用 学业标准 素养目标 1．了解实际问题中所涉及的名词和一些术语．(重点) 2．会建立实际应用题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理解有关距离、高度及角度等实际问题．(重点、难点) 通过建立实际应用题的三角形模型解决问题，培养数学建模和数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学　余弦定理、正弦定理在实际测量中的应用 　两个不可到达的点之间的距离可以求得吗？ [提示]　可以． 　如何求出两个不可到达的点之间的距离？ [提示]　两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得． 　如图所示，如果测得数据a，b，γ，可以测量隧道AB的长度吗？ [提示]　可以，可以由余弦定理求得AB． ◎结论形成 1．基线的定义 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫作__基线__． 2．选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的__基线长度__，使测量具有较高的精确度，一般来说，基线__越长__，测量的精确度__越高__． 3．实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方 向 角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 方 位 角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 [基础自测] 1．已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距(　　) A．10 km　　　　　　 B．10 km C．10 km D．10 km 解析　AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700，所以AC＝10(km)． 答案　D 2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 解析　如图，由题意，知AC＝BC， ∠ACB＝80°， 所以∠BAC＝∠CBA＝50°， 因为α＋∠CBA＝60°. 所以α＝10°， 即灯塔A在灯塔B的北偏西10°. 答案　B 3．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为________． 解析　v实＝＝2(km/h)．所以实际航程为2×＝6(km)． 答案　6 km 4．江岸边有炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____________m. 解析　设两条船所在位置分别为A，B两点，炮台底部所在位置为C点，炮台顶部为D点． 在△ABD中，由题意可知AC＝＝30(m)，BC＝＝30(m)，∠ACB＝30°，在△ABC中，AB2＝(30)2＋302－2×30×30×cos 30°＝900，所以AB＝30 (m)． 答案　30 题型一　正、余弦定理在物理学中的应用 　如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10 N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力．(精确到0.1 N，参考数据：sin 50°≈0.77，sin 60°≈0.87，sin 70°≈0.94) [解析]　如图，作＝F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作▱OCED， 则＝＝F1，＝F2. 由题设条件可知，||＝10， ∠OCE＝50°，∠OEC＝70°， 所以∠COE＝180°－50°－70°＝60°. 在△OCE中，由正弦定理， 得＝，＝， 因此，|F1|＝≈11.3 (N)， |F2|＝≈12.2(N)． 即灯杆OA所受的力约为11.3 N， 灯杆OB所受的力约为12.2 N. [规律方法]　 在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解． [触类旁通] 1．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30 N，F2＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向(精确到0.1°)． 解析　F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得 F＝＝70(N)， 再由正弦定理，得 sin∠F1OF＝＝， 所以∠F1OF≈38.2°，从而∠F1OF3≈1