10.3 几个三角恒等式-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

10．3　几个三角恒等式 学业标准 素养目标 1．通过积化和差、和差化积、半角公式的推导，体会三角恒等变换的基本思想方法．(重点) 2．能利用三角恒等变换的技巧并能进行三角函数式的化简、求值以及证明．(难点、易混点) 1．通过进行三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明，培养数学运算和逻辑推理等核心素养． 2．通过三角恒等变换的实际应用，培养数学建模核心素养. [教材梳理] 导学1　积化和差与和差化积公式 　两角和与差的正弦、余弦公式分别是什么？ [提示]　sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 　用什么方法可以由上述四个式子解出sin αcos β，cos αsin β，cos αcos β，sin αsin β？ [提示]　类似于解方程组，进行加减消元即可． ◎结论形成 积化和差公式 sin αcos β＝　[sin(α＋β)＋sin(α－β)]　； cos αsin β＝　[sin(α＋β)－sin(α－β)]　； cos αcos β＝　[cos(α＋β)＋cos(α－β)]　； sin αsin β＝　－[cos(α＋β)－cos(α－β)]　. 导学2　和差化积公式 　设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝，β＝.这样，利用和差化积公式，能否求出sin x＋sin y，sin x－sin y，cos x＋cos y，cos x－cos y? [提示] sin x＋sin y＝2sin cos ； sin x－sin y＝2cos sin ； cos x＋cos y＝2cos cos ； cos x－cos y＝－2sin sin . ◎结论形成 和差化积公式 sin α＋sin β＝　2sincos　； sin α－sin β＝　2cossin　； cos α＋cos β＝　2coscos　； cos α－cos β＝　－2sinsin　. 导学3　半角公式 　我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用α替换2α，结果怎样？ [提示]　结果是cos α＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2. 　根据上述结果，使用sin α，cos α表示sin，cos，tan？ [提示]　∵cos2＝， ∴cos＝± . ∴同理sin ＝± ， ∴tan＝＝±. ◎结论形成 半角公式 sin＝　±　； cos ＝　±　； tan ＝±＝＝　　. [基础自测] 1．sin 105°cos 75°＝(　　) A．　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析　sin 105°cos 75°＝(sin 180°＋sin 30°)＝. 答案　B 2．已知180°<α<360°，则cos ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　∵180°<α<360°，∴90°<<180°， ∴cos <0，故应选C． 答案　C 3．(多选)下列等式不正确的是(　　) A．sin x＋sin y＝2sin sin B．sin x－sin y＝2coscos C．cos x＋cos y＝2coscos D．cos x－cos y＝2sinsin 解析　由和差化积公式知C正确． 答案　ABD 4．求值：＝________. 解析　原式＝＝＝＝＝＝2－. 答案　2－ 题型一　积化和差问题 　(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°. [解析]　(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°) ＝－sin 50°＋cos 40° ＝－sin 50°＋sin 50°＝. (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝cos 10°cos 50°cos 70° ＝ ＝cos 70°＋cos 40°cos 70° ＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°) ＝cos 70°＋cos 110°＋＝. [规律方法] 积化和差公式的功能与关键 (1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)． ②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质． (2)关键：正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数． [触类旁通] 1．求sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50°的值． 解析　原式＝＋＋(si