10.2 二倍角的三角函数-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

10．2　二倍角的三角函数 学业标准 素养目标 1．能推导并记住二倍角的正弦、余弦和正切公式．(重点) 2．能利用倍角公式化简、求值和证明．(重点) 3．会利用倍角公式解决实际问题．(难点) 1．借助二倍角公式的推导，培养学生的数学建模、逻辑推理核心素养． 2．通过倍角公式的应用，提升数学运算、逻辑推理核心素养. [教材梳理] 导学　二倍角的三角函数 　在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？ [提示]　成立． 　在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，能得出什么结论？ [提示]　能得出二倍角的正弦、余弦、正切公式． ◎结论形成 二倍角的三角函数 [基础自测] 1．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析　sin 2α＝2sin αcos α＝. 答案　D 2．1－2sin222.5°＝(　　) A． B． C． D． 解析　1－2sin22.5°＝cos 45°＝. 答案　B 3.＝(　　) A． B． C．1 D．－1 解析　原式＝＝＝. 答案　A 4．已知α为第三象限角，cos α＝－，则tan 2α＝____________. 解析　因为α为第三象限角，cos α＝－， 所以sin α＝－＝－， tan α＝，tan 2α＝＝＝－. 答案　－ 题型一　给角求值 　求下列各式的值： (1)2cos2－1； (2)； (3)cos 20°cos 40°cos 80°. [解析]　(1)原式＝cos＝cos ＝cos ＝. (2)原式＝＝2× ＝2×＝2. (3)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. [规律方法] 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． [触类旁通] 1．求下列各式的值： (1)sin cos ； (2)cos2－sin2； (3). 解析　(1)原式＝×2sincos ＝sin＝. (2)原式＝cos＝. (3)原式＝tan 30°＝. 题型二　给值求值、求角问题(一题多变) 　(1)已知α∈，且sin 2α＝sin ，求α. (2)已知sin ＝，0＜x＜，求的值． [解析]　(1)∵sin 2α＝－cos＝－＝1－2cos2， sin＝－sin＝－cos＝－cos ， ∴原式可化为1－2cos2＝－cos，解得cos＝1或cos＝－. ∵α∈，∴α＋∈， 故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝. (2)∵0＜x＜，sin＝， ∴－x∈，cos＝， ＝＝(cos x＋sin x)＝2cos＝. [母题变式] 1．(变结论)若本例(2)中的条件不变，则的值是什么？ 解析　sin＝cos x－sin x＝， 平方得sin 2x＝， sin＝cos＝cos＝， 所以＝×＝. 2．(变条件)若本例(2)中的条件变为“tan＝”，其他条件不变，结果如何？ 解析　因为tan＝， 所以sin＝cos， 又sin2＋cos2＝1， 故可解得cos＝， 原式＝2cos＝. [规律方法] 解决条件求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． (2)当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通． cos 2x＝sin＝2sincos. 类似的变换还有： cos 2x＝sin＝2sincos， sin 2x＝cos＝2cos2－1， sin 2x＝－cos＝1－2cos2等． 题型三　化简、证明问题 　(1)化简：＋＝________. (2)证明：＝－4. [解析]　(1)原式＝＝＝－＝－tan 2θ. [答案]　－tan 2θ (2)证明　左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝－4＝右边， 所以原等式成立． [规律方法] 三角函数式的化简与证明 (1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. (2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件． [触类旁通] 2．(1)化简：. (2)求证：＝tan4A． 解析　(1) ＝ ＝· ＝sin x·＝tan x. (2)证明　因为左边＝ ＝2＝2＝(tan2A)2 ＝tan4A＝右边， 所以＝tan