10.1.3 两角和与差的正切-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

10．1.3　两角和与差的正切 学业标准 素养目标 1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点) 2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值和证明．(重点) 3．熟练掌握两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点) 1．借助两角和与差的正切公式的推导，培养数学建模、逻辑推理的核心素养． 2．通过两角和与差的正切公式的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学　两角和与差的正切公式 　你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？ [提示]　可以． tan(α＋β)＝＝＝＝， tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝＝. 　两角和与差的正切公式对任意角α，β均成立吗？ [提示]　不是对任意角α，β均成立，必须使正切有意义，两角和的正切公式使用条件为α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，两角差的正切公式使用条件为α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)． ◎结论形成 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ 　　 α，β，α＋β≠kπ＋ (k∈Z)且tan α·tan β≠1 两角差 的正切 公式 T(α－β) tan(α－β)＝ 　　 α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠－1 [基础自测] 1．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝(　　) A．　　 B．－　　 C．　　 D．－ 解析　tan (α＋β)＝＝＝－. 答案　B 2．若tan β＝3，tan (α－β)＝－2，则tan α＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 解析　tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝. 答案　A 3．已知tan α＝3，则tan＝(　　) A．－2 B．2 C． D．－ 解析　tan＝tan＝＝＝－ 答案　D 4．计算：tan 75°＝________. 解析　tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝＝＝＝＝2＋. 答案　2＋ 题型一　公式的正用与逆用 　(1)已知tan α＝，tan (α－β)＝－，则tan (β－2α)＝(　　) A．－　　 B．－　　 C．－　　 D． (2)＝________. [解析]　(1)由已知可知tan(－α)＝－， 又β－2α＝(－α)－(α－β)， 所以tan (β－2α)＝tan[(－α)－(α－β)] ＝＝ ＝－. (2)原式＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝. [答案]　(1)B　(2) [规律方法] 1．利用公式T(α＋β)求角的步骤： (1)计算待求角的正切值． (2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． (3)根据角的范围及三角函数值确定角． 2．公式T(α±β)的逆用，一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等． 要特别注意tan＝， tan ＝. [触类旁通] 1．(1)已知角α，β均为锐角，且cos α＝，tan (α－β)＝，则tan β＝________. (2)＝________. 解析　(1)因为cos α＝，α为锐角， 所以sin α＝，tan α＝， 所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3. (2)原式＝＝＝tan (30°－75°)＝－tan 45°＝－1. 答案　(1)3　(2)－1 题型二　公式的变形应用(一题多变) 　tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________. [解析]　∵tan 67°－tan 22°＝tan(67°－22°)·(1＋tan 67°tan 22°)＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)＝1＋tan 67°tan 22°， ∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝1＋tan 67°·tan 22°－tan 67°tan 22°＝1. [答案]　1 [母题变式] 1．(变条件)将本例中的角同时增加1°，结果又如何？ 解析　∵tan 45°＝tan(68°－23°)＝ ， ∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°， 即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1. 2．(变结论)能否为本例和变式1归纳出一个一般结论？若能，试证明． 解析　一般结论：若α－β＝45°(α，β≠kπ＋，k∈Z)，则tan α－tan β－tan αtan β＝1. 证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝， ∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β， 即ta