10.1.2 两角和与差的正弦-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

10．1.2　两角和与差的正弦 学业标准 素养目标 1．理解两角和与差的正弦公式的推导过程. 2．会利用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数求值、化简和证明．(重点、难点) 3．会灵活运用两角和与差的正弦、余弦公式解决问题．(难点) 1．借助两角和与差的正弦公式的推导，培养数学建模核心素养． 2．通过用两角和与差的正弦公式进行化简、求值，提升数学运算、逻辑推理核心素养. [教材梳理] 导学　两角和与差的正弦公式 　由公式C(α＋β)或C(α－β)可求sin 75°的值吗？ [提示]　可以．因为sin 75°＝cos 15°＝cos (45°－30°)． 　由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？ [提示]　可以．sin(α＋β)＝cos＝cos＝sin αcos β＋cos αsin β 　能利用上述公式把sin(α－β)用sin α，cos α，sin β，cos β表示吗？ [提示]　能．用－β代替β即可． ◎结论形成 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的正弦 sin(α＋β)＝ __sin_αcos_β＋cos_αsin_β__ S(α＋β) α，β∈R 两角差 的正弦 sin(α－β)＝ __sin_αcos_β－cos_αsin_β__ S(α－β) [基础自测] 1．(多选) 下列说法正确的是(　　) A．存在角α，β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β B．任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β C．存在角α，β，使得sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β D．存在角α，β，使得sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β 解析　A正确，当β＝2kπ时，cos β＝1，sin β＝0，等式成立；B正确，这是恒等式，对任意α，β均成立；C错误，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β恒成立；D正确，β＝2kπ时，等式成立． 答案　ABD 2．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为(　　) A．0　　 B．　　 C．　　 D． 解析　sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝. 答案　C 3．设α∈，若sin α＝，则2sin＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．2 解析　因为α∈，α是第一象限内的角， 可得cos α＝，又根据两角和正弦公式得 sin＝sin αcos＋sincos α＝sin α＋cos α＝×＋×＝， 所以2sin＝. 答案　A 4．计算sin＝________. 解析　sin ＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝. 答案　 题型一　给角求值 　化简求值： (1)； (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)． [解析]　(1)原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. (2)设α＝θ＋15°， 则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos α ＝＋－cos α＝0. [规律方法] 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． [触类旁通] 1．cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°＝(　　) A．－　　 B．－　　 C．　　 D． 解析　∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°， ∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50°＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝. 答案　D 题型二　给值(式)求值 　已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值． [解析]　∵α为第一象限角且sin α＝， ∴cos α＝.又β为第二象限角且cos β＝－，∴sin β＝，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝－. [规律方法] 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β