10.1.1 两角和与差的余弦-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

10．1　 两角和与差的三角函数 10．1.1　两角和与差的余弦 学业标准 素养目标 1．理解两角和与差的余弦公式的推导过程. 2．会利用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数求值、化简和证明．(重点、难点) 1．借助推导两角和与差的余弦公式，培养直观想象、数学建模等核心素养． 2．通过两角和与差的余弦公式的应用，提升数学运算和逻辑推理核心素养. [教材梳理] 导学1　两角差的余弦公式 　如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos (α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗？试举出两例加以说明． [提示]　不正确． 例如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos ＝，而cos α－cos β＝cos －cos ＝－， 故cos (α－β)≠cos α－cos β； 再如：当α＝，β＝时， cos (α－β)＝cos ＝， 而cosα－cos β＝cos －cos ＝， 故cos (α－β)≠cos α－cos β. 　计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想． ①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝__1__； ②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝　　； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝__0__； ④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin210°＝　　. 猜想： cos αcos β＋sinαsin β＝__cos(α－β)__． ◎结论形成 　两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝__cos_αcos_β＋sin_αsin_β__. 简记符号C(α－β) 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 导学2　两角和的余弦公式 　把公式cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？ [提示]　cos (α＋β)＝cos αcosβ－sin αsin β 　在cos (α＋β)的公式中，α，β的条件是什么？ [提示]　α，β为任意角． ◎结论形成 　两角和的余弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的余弦 cos (α＋β)＝ __cos_αcos_β－sin_αsin_β__ C(α＋β) α，β∈R [基础自测] 1．(多选)下列命题不正确的是(　　) A．对于任意角α，β，都有cos(α－β)＝cos α－cos β B．对于任意角α，β，都有cos(α－β)≠cos α－cos β C．不存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β D．存在α和β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β 解析　A明显不成立；B中当α＝，β＝时，等式成立，∴B不成立； C中，当α＝kπ或β＝kπ时(k∈Z)等式成立，D正确，因为当α＝β＝0时，等式成立． 答案　ABC 2．cos(30°－45°)＝(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析　cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝. 答案　D 3．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　) A．α＝π，β＝ B．α＝，β＝ C．α＝，β＝ D．α＝，β＝ 解析　由条件cos αcos β＝－sin αsin β得cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos (α－β)＝，α＝，β＝满足条件． 答案　B 4．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝________. 解析　原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝. 答案　 题型一　给角求值 　求下列各式的值： (1)cos(－375°)； (2)cos 105°； (3)coscos＋cossin； (4)cos 105°＋sin 105°. [解析]　(1)cos(－375°)＝cos 375°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝×＋×＝. (2) cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝×－×＝. (3) coscos＋cossin ＝coscos＋sinsin ＝cos＝cos＝. (4)cos 105°＋sin 105° ＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105° ＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝. [规律方法] 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 (1)