9.4 向量应用-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

9．4　向量应用 学业标准 素养目标 1. 会用向量方法解决物理中的速度、力学问题．(难点) 2. 会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题．(重点) 通过用向量方法解决物理和平面几何问题，培养数学建模、逻辑推理和数学运算核心素养. [教材梳理] 导学1　向量在物理中的应用 　向量与力有什么相同点和不同点？ [提示]　向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量起点平移到同一作用点上． 　向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？ [提示]　速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成． ◎结论形成 　向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理的合成和分解中． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与位移s的数量积． 导学2　向量在平面几何中的应用 ◎结论形成 1．向量在平面几何中常见的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y2＝0(b≠0)． (2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，利用夹角公式： cos〈a，b〉＝＝. (4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：|a|＝＝或|AB|＝||＝. 2．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤” [基础自测] 1．在四边形ABCD中，若·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　) A．直角梯形　　　　 B．菱形 C．矩形 D．正方形 解析　由＝知BC綊AD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 由·＝0知，AB⊥BC， ∴四边形ABCD是矩形． 答案　C 2．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为a，则(　　) A．s>|a| B．s<|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小 解析　路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|. 答案　A 3．某物体做斜抛运动，初速度大小为|υ0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度大小是________m/s. 解析　设该物体在竖直方向上的速度为υ1，水平方向上的速度为υ2，如图所示，|υ2|＝|υ0|cos 60°＝10×＝5 (m/s)． 答案　5 4．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________． 解析　因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11. 答案　－11 题型一　用向量解决物理中的相关问题 　如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功． [解析]　以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3,3)， 所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)． 又位移s＝(4，4)， 故合力F所做的功为W＝F·s ＝(2－2)×4＋(2＋4)×4 ＝4×6 ＝24(J)． 即合力F所做的功为24 J. [规律方法] 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． [触类旁通] 1．在长江南岸某渡口处，江水以大小为12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度大小为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 解析　如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度， 表示渡船实际垂直过江的速度． 因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°， ||＝||＝12.5.||＝25， 所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. 题型二　向量在几何证明中的应用(一题多解) 　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点， 求证：AF⊥DE. [证明]　法一　设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋b， ＝＋＝b＋a， 所以·