9.3.3 向量平行的坐标表示-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版（教师用书word）

9．3.3　向量平行的坐标表示 学业标准 素养目标 1．掌握向量平行的坐标表示．(重点) 2．能利用向量平行的坐标表示解决有关向量平行问题．(难点) 通过向量平行的坐标表示的应用，主要提升数学运算、逻辑推理核心素养. [教材梳理] 导学　向量平行的坐标表示 　若a，b都是非零向量，且a∥b，则a与b有何关系？ [提示]　a＝λb(λ∈R)． 　若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，a∥b，它们的坐标应满足什么条件？ [提示]　(λ∈R)． ◎结论形成 向量平行的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. [基础自测] 1．(多选)下列各组向量中，不共线的是(　　) A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2) C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4) 解析　由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足． 答案　ABC 2．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　) A．－9　　 B．9　　 C．3　　 D．－3 解析　因为a＝(－6,2)，b＝(m，－3)， 若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9. 答案　B 3．若a＝(x－2,5)，b＝(－1，y＋2)，且a＝b，则x＝________，y＝________. 解析　∵a＝b，∴，即 答案　1　3 4．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a与b共线且方向相同． 解析　∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a∥b，则x2－4＝0，即x2＝4，∴x＝±2，当x＝－2时，a和b方向相反．当x＝2时，a与b方向相同． 答案　2 题型一　向量共线的判定(一题多解) 　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [解析]　a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 法一　a＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以 解得k＝λ＝－. 当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，因为λ＝－<0， 所以ka＋b与a－3b反向． 法二　由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行， 所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0， 解得k＝－. 这时ka＋b＝＝－(a－3b)． 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． [规律方法] 向量共线的判定方法 [触类旁通] 1．(1)(2021·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________. (2)已知点P(－1,2)，线段QP的中点M的坐标为(1，－1)．若向量与向量a＝(λ，1)共线，则λ＝____________. 解析　(1)由题意结合向量平行的充分必要条件可得2×4－λ×5＝0， 解方程可得λ＝. 故答案为. (2)点P(－1,2)，线段QP的中点M的坐标为(1，－1)， 所以向量＝2(－1－1,2＋1)＝(－4,6)， 又因为与向量a＝(λ，1)共线， 所以(－4)×1－6λ＝0，解得λ＝－. 答案　(1)　(2)－ 题型二　三点共线问题(一题多解)(一题多变) 　(1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：点A，B，C共线； (2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线． [解析]　(1)证明　由题意知＝－＝(4,8)， ＝－＝(6,12)，所以＝， 即与共线． 又因为与有公共点A，所以点A，B，C共线． (2)法一　因为A，B，C三点共线，即与共线， 所以存在实数λ(λ∈R)，使得＝λ. 因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)， 所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， 即解得k＝－2或k＝11. 所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线． 法二　由已知得与共线， 因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)， 所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11. 所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线． [母题变式] 1．(变条件、变结论)将本例(2)变为：若点A(1，－3)，B，C(x,1)共线，则x＝________. 解析　＝，＝(x－1,4)． 因为A，B，C共线，所以与共线