河南省新乡县龙泉高级中学2021-2022学年高三上学期10月半月考数学（理）试题

2021—2022学年上学期高三10月半月考试卷

理科数学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合,，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若复数z满足为（i为虚数单位），则（    ）．

A.  B. 3 C. 4 D. 5

3. 中，“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 若m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）．

A. ，，且，则 B. ，且，则

C. ，且，则 D. ，且，则

5. 在展开式中，含项的系数是（    ）

A.  B. 5 C.  D. 1

6. 已知数列满足，若，，则（    ）

A. 2 B.  C. 2 D. 8

7. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为

A.  B.  C.  D.

9. 设函数，已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ）

A. 1 B. 2 C.  D. 4

10. 若锐角满足，则函数的单调增区间为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

11. 已知、分别为双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线右支上的一个交点为M，线段与双曲线的左支交于点N，若点N恰好平分线段，则双曲线离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，，若成立，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 若，，则向量在向量方向上的投影数量为__________．

14. 已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若，且

，则S的最大值为__________．

15. 棱长均为的四面体的外接球的表面积为__________．

16. 已知直线与抛物线交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，交抛物线于点A，若，则__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知数列前项和是，且．

（1）设，证明：数列是等比数列；

（2）设，求数列的前项和．

18. 如图1在正方形中，，是的中点，把沿折叠，使为等边三角形，得到如图2所示的几何体．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

19. 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：

①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任一题减2分；

②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；

③每位参加者按问题A，B，C，D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

（1）求甲同学能进入下一轮的概率；

（2）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．