第九章 解三角形 章末整合提升-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版（教师用书word）

一、利用正、余弦定理解三角形 解三角形问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理解决． 解斜三角形通常有以下四种类型 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角(如a，∠B，∠C) 正弦定理 由∠A＋∠B＋∠C＝180°求出∠A，由正弦定理求出b与c. 只有一解. 两边和夹角(如a，b，∠C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求出第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由∠A＋∠B＋∠C＝180°求出另一角． 只有一解． 三边 (a，b，c) 余弦定理 由余弦定理求出∠A，∠B，再利用∠A＋∠B＋∠C＝180°求出∠C. 在有解时只有一解. 两边和其中一边的对角(如a，b，∠A) 正弦定理 或余弦定理 由正弦定理求出∠B，由∠A＋∠B＋∠C＝180°求出∠C，再利用正弦定理求出边c，可有两解、一解或无解．也可根据余弦定理，列出关于c的一元二次方程，解方程求边c，然后应用正弦定理或余弦定理求出其他元素. [典题1]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B． (1)求角B的大小； (2)若∠A＝75°，b＝2，求a，c. [解析]　(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2. ∵b2＝a2＋c2－2accos B， ∴cos B＝，∴∠B＝45°. (2)sin A＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝. ∴a＝b·＝1＋. ∵∠C＝180°－45°－75°＝60°， ∴c＝b·＝2·＝. 二、三角形中的计算问题 三角形中计算问题主要涉及三角形的边长、角度及面积的计算和三角形形状的判断．在三角形的面积公式中，S＝absin C＝acsin B＝bcsin A是最常用的，因为公式中既有边也有角，容易与正弦定理、余弦定理联系起来． 几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的大小的计算，利用正、余弦定理解决问题．解决此类问题的关键是构造三角形，将已知量与待求量集中在同一个三角形中，依次解三角形求解． 角度1　判断三角形的形状 [典题2]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足tan＝acos，试判断三角形形状． [解析]　∵sin ＝acoscos. ∴2bsincos＝acoscos－sinsin. ∴bsin A＝acos＝acos＝asin. 由正弦定理得sin Bsin A＝sin Asin. ∵sin A≠0，∴2sincos＝sin. ∵sin≠0，∴cos＝. ∵0＜B＜π，∴B＝， 故△ABC为钝角三角形． 角度2　三角形的面积及最值问题 [典题3]　在锐角△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，a＝2csin A. (1)求角C. (2)若△ABC的面积等于，求a，b. (3)求△ABC的面积最大值． [解析]　(1)因为a＝2csin A， 所以sin A＝2sin Csin A， 因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以sin C＝， 因为△ABC为锐角三角形，所以C＝. (2)因为C＝，c＝2，由余弦定理及已知条件， 得a2＋b2－ab＝4，① 又因为△ABC的面积等于， 所以absin C＝，得ab＝4.② 联立①②，解得 (3)由①可得，4＋ab≥2ab， 即ab≤4(当且仅当a＝b＝2时等号成立)， 所以S△ABC＝absin C≤×4×＝， 即当a＝b＝2时，△ABC的面积的最大值等于. 三、恒等式的证明 证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决． [典题4]　在△ABC中，求证： (1)＝； (2)a2＋b2＋c2＝2(bccos A＋cacos B＋abcos C)． [证明]　(1)根据正弦定理， 左边＝ ＝＝右边， 即原等式成立． (2)根据余弦定理， 右边＝2bc·＋ca·＋ab· ＝(b2＋c2－a2)＋(c2＋a2－b2)＋(a2＋b2－c2) ＝a2＋b2＋c2＝左边，即原式成立． 四、正、余弦定理在实际问题中的应用 解三角形知识在实际中的应用主要是解决生活中的测量问题，即测量不可到达的两地距离、建筑物的高度、航行问题中的方位角等．解题的途径是通过理解题意，画出示意图，构造三角形模型，转化为解三角形的问题． [典题5]　如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．