11.1.5 旋转体-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版（教师用书word）

11．1.5　旋转体 学业标准 素养目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义． 2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点) 3．能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．(难点) 4．会求球的表面积. 1.通过将现实生活中的实物抽象成旋转体，培养数学抽象核心素养． 2．通过圆柱、圆锥、圆台及球的相关计算，培养数学运算及直观想象核心素养. [教材梳理] 导学1 圆柱、圆锥、圆台的概念及结构特征 　上图中的几何体是多面体吗？ [提示]　不是． 　以直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转360°而形成的曲面所围成的几何体是圆锥吗？ [提示]　不是，绕斜边旋转所得的是两个圆锥． 　能否由圆锥得到圆台？ [提示]　用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到． ◎结论形成 圆柱、圆锥、圆台的概念与结构特征 名称 类别　 圆柱 圆锥 圆台 定义 以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体叫圆柱. 以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体叫圆锥. 以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体叫圆台． 图形 及表示 图中的圆柱记作圆柱OO′. 图中的圆锥记作圆锥SO. 图中的圆台记作圆台O′O. 侧面 展开图 结构 特征 两个底面互相平行， 有无数条母线，且长度相等，都与轴平行， 轴截面是全等的矩形. 底面是圆面， 有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不同的圆， 轴截面是全等的等腰三角形. 上、下底面是平行且大小不同的圆面，母线的延长线交于一点， 平行于底面的截面是与两底面大小都不同的圆， 轴截面是全等的等腰梯形． 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面简称为轴截面. 导学2 球的概念及几何特征 　球可以看作半圆绕它的直径旋转一周而形成的吗？ [提示]　可以． 　球与球面是相同的概念吗？ [提示]　球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的几何体，而球面只指球的表面部分． ◎结论形成 球的概念与结构特征 球及相关概念 图形及表示 定义 球面围成的几何体称为球． 图中的球记作：球O. 相关 概念 (1)球面 定义1：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 定义2：球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合． (2)球心：形成球面的半圆的圆心； (3)半径：连接球面上一点和球心的线段. (4)直径：连接球面上两点并且通过球心的线段． (5)大圆：球面被经过球心的平面截得的圆． (6)小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆． 表面积 S＝4πR2.(R为球的半径) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆锥过轴的截面是一个等腰三角形．(　　) (2)直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的几何体是圆锥．(　　) (3)图中的几何体是圆锥．(　　) (4)圆锥的母线长一定大于底面圆的半径．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列几何体中不是旋转体的是(　　) 解析　由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体． 答案　D 3．(多选题)用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体可能是(　　) A．圆锥　　　　　　 B．圆柱 C．球 D．棱柱 解析　棱柱的任何截面都不可能是圆面． 答案　ABC 4．如图所示立体图形是由哪个平面图形旋转得到的(　　) 解析　组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确． 答案　D 　(多选题)下列四种说法中，正确的是(　　) A．在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线相互平行 [解析]　A所取的两点与圆柱的轴的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．C所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．B、D符合圆锥、圆柱母线的定义及性质． [答案]　BD [规律方法] 圆柱、圆锥、圆台、球都是常见的旋转体，关于它们的结构特征，要正确把握它们概念的本质，多考虑几种可能的情形．同时，要注意旋转体的特征． [触类旁通] 1．下列命题中正确的是(　　) ①过球面上任意两点只能作球的一个大圆； ②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径； ③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面． A．①②③　 　 B．①③　 C．②③