11.1.4 棱锥与棱台-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版（教师用书word）

11.1.4　棱锥与棱台 学业标准 素养目标 1.理解棱锥和棱台的定义和结构特征．(重点) 2．能在棱锥和棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．(难点) 1.通过将现实生活中的实物抽象为棱锥和棱台，培养数学抽象和直观想象核心素养； 2．通过棱锥和棱台中的数量关系的计算，主要培养数学运算核心素养. [教材梳理] 导学1 棱锥的概念与几何特征 　上图中的几何体是什么几何体？ [提示]　棱锥. 　上图中的几何体有什么共同的结构特征？ [提示]　底面是多边形，侧面都是三角形，且有一个公共顶点． ◎结论形成 棱锥的概念与几何特征 定义 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥． 图形 及 表示 可记作：棱锥P ­ABCD或棱锥P ­AC. 相关 概念 棱锥的底面 是多边形的那个面． 棱锥的侧面 有公共顶点的各三角形． 棱锥的顶点 各侧面的公共顶点． 侧棱 相邻两侧面的公共边． 棱锥的高 过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)． 棱锥的侧面积 棱锥所有侧面的面积之和． 分类 按底面的形状可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 正棱锥 定义 如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥． 斜高 侧面等腰三角形底边上的高． 特征 侧面都全等，而且都是等腰三角形，斜高也相等. 导学2 棱台的概念及结构特征 　上图中的几何体是什么几何体？ [提示]　棱台． 　棱台与棱锥有什么关系？ [提示]　棱台可以由棱锥截得． ◎结论形成 棱台的定义及机构特征 定义 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台． 图形及 表示 可记作：棱台ABCD­A1B1C1D1. 相关 概念 棱台的底面 下底面：原棱锥的底面． 上底面：原棱锥的截面． 棱台的侧面 除上、下底面外的其余面． 侧棱 相邻两侧面的公共边． 棱台的高 过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)． 棱台的侧面积 棱台所有侧面的面积之和． 分类 按底面的形状可以分为三棱台、四棱台、五棱台…… 正棱台 定义 由正棱锥截得的棱台． 高 上下两底面中心的连线． 斜高 侧面等腰梯形的高． 特征 侧面都全等，而且都是等腰梯形，斜高也相等. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱锥的所有面都可以是三角形．(　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．(　　) (3)若一个棱锥的侧面都是等腰三角形，那么这个棱锥是正棱锥．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．下面四个几何体中，是棱台的是(　　) 解析　A项中的几何体是棱柱；B项中的几何体是棱锥；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台． 答案　C 3．(多选题)如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法正确的是(　　) A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的 B．该几何体有12条棱、6个顶点 C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形 D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 解析　面ABCD不是几何体的面，该几何体有8个面． 答案　ABC 4．下列说法正确的有________．(填序号) ①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点； ②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形； ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点． 解析　棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．因而正确的有①③. 答案　①③ 　下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ②棱台的侧面一定不会是平行四边形． ③棱锥的侧面只能是三角形． ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥． ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________． [解析]　①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台． ②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形． ③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形． ④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥． ⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都