9.1.2 余弦定理-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版（教师用书word）

9.1.2　余弦定理 学业标准 素养目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法． 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(重点、难点) 1.通过运用余弦定理解三角形，培养数学运算核心素养． 2．通过利用余弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理核心素养. [教材梳理] 导学1 余弦定理的形成及推论 　正弦定理可以解决哪两类解三角形问题？ [提示]　(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角． 　如果一个三角形中已知两条边和它们的夹角，利用正弦定理能求出其余的边和角吗？ [提示]　不能，需要用余弦定理． ◎结论形成 1．余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 2．余弦定理的推论 cos A＝；cos B＝； cos C＝. 导学2 余弦定理的证明 　如图，设＝a，＝b，＝c，由＝－知c＝a－b，那么如何用a，b和角C表示出边c呢？ [提示]　|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C．所以c2＝a2＋b2－2abcos C. 同理可以证明：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一．(　　) (2)在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个．(　　) (3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角．(　　) (4)在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2等于(　　) A．32－16　　　　　　 B．16 C．32＋16 D．48 解析　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝42＋42－2×4×4×＝32－16. 答案　A 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝6，则cos B＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　由余弦定理的推论得 cos B＝＝＝. 答案　D 4．在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析　设AB＝c，BC＝a，CA＝b， c2＝a2＋b2－2abcos C ＝9＋16－2×3×4×＝9， ∴c＝3，cos B＝＝， 故选A. 答案　A 　在△ABC中， (1)已知a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A. (2)已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和边a. [解析]　(1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×(＋)×2·cos 45°＝8，所以b＝2. 所以cos A＝ ＝＝. 因为0°<A<180°，所以A＝60°. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2×3a·cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3. 当a＝6时，由正弦定理，得 sin A＝＝×＝1， 所以A＝90°，C＝60°， 当a＝3时，同理得A＝30°，C＝120°. [规律方法] 1已知两边及两边的夹角解三角形，可以先利用余弦定理直接求第三边，再利用余弦定理的推论及三角形内角和定理求其余两角，也可用正弦定理求其余两角. 2已知两边和一边的对角解三角形，有两种解法： ①利用余弦定理列出方程，运用方程的思想求出第三边的长，这样可直接判断取舍. ②直接运用正弦定理，先求角再求边，但要注意判断解的个数. [触类旁通] 1．在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形． 解析　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B， 所以2＝3＋c2－2×c， 即c2－c＋1＝0， 解得c＝或c＝， 当c＝时，由余弦定理， 得cos A＝＝＝. 因为0°<A<180°， 所以A＝60°，所以C＝75°. 由c＝时，由余弦定理，得 cos A＝＝＝－. 因为0°<A<180°， 所以A＝120°，C＝15°. 故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝， A＝120°，C＝15°. 　在△ABC中， (1)a＝3，b＝4，c＝，求最大角； (2)a∶b∶c＝1∶∶2，求角A，B，C的大小． [解析]　(1)显然C最大． ∵cos C＝＝＝－， ∴C＝120°. (2)由于a∶b∶c＝1∶∶2，