9.1.1 正弦定理-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版（教师用书word）

　正弦定理与余弦定理 9．1.1　正弦定理 学业标准 素养目标 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点) 2．能根据条件，判断三角形解的个数．(难点) 3．能运用正弦定理解决简单的解三角形问题．(重点) 1.通过对正弦定理的探索，培养数学抽象核心素养． 2．通过正弦定理的运用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1 三角形面积公式的拓展 　△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？ [提示]　ha＝bsin C＝csin B，hb＝csin A＝asin C，hc＝asin B＝bsin A. 　将问题1中得到的结论代入三角形面积公式S＝ah，可以推导出怎样的三角形面积公式？ [提示]　S＝absin C，S＝bcsin A，S＝acsin B． ◎结论形成 若记△ABC的面积为S，则S＝absin C＝bcsin A＝acsin B． 导学2 正弦定理的形成 　如果对式子S＝absin C＝bcsin A＝acsin B，两边同时除以abc，得到什么式子？ [提示]　能得到＝＝. 　问题1中的式子能取倒数吗？如果能，得到什么式子？ [提示]　因为sin A>0，sin B>0，sin C>0，所以可以取倒数，得到＝＝. 　在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c吗？ [提示]　由于＝，所以＝，同理，＝，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c正确． ◎结论形成 1．正弦定理 文字 语言 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦值的比相等． 符号 语言 ＝＝. 2.正弦定理对任何三角形都成立，它反映了一个三角形中各边于其对角正弦值之间的关系． 3．正弦定理的变形 (1)＝，＝，＝. (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝＝ ＝＝ ＝＝2R (R为△ABC外接圆的半径) 导学3 解三角形 　在一个三角形中，已知两个角和一条边，能求出其余的边和角吗？ [提示]　能，可以利用正弦定理求解，还要用到三角形的内角和定理． ◎结论形成 三角形中的元素与解三角形 (1)三角形中的元素：指的是三角形的三个角及其对边． (2)解三角形：已知三角形的几个元素求其他元素的过程． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在Rt△ABC中，若C为直角，则sin A＝.(　　) (2)在△ABC中，若a>b，则A>B.(　　) (3)在△ABC中，C＝π－A－B.(　　) (4)在△ABC中，若sin B＝，则B＝.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于(　　) A．4∶1∶1　　　　　　　 B．2∶1∶1 C.∶1∶1 D．∶1∶1 解析　∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1， ∴A＝120°，B＝30°，C＝30°. 由正弦定理的变形公式得 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C ＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝∶∶ ＝∶1∶1.故选D. 答案　D 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，B＝45°，a＝3，则b＝(　　) A. B． C．2 D．4 解析　由正弦定理得b＝＝ ＝＝2. 答案　C 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________. 解析　因为A＋B＋C＝180°，且A＋C＝2B，所以B＝60°，由正弦定理得sin A＝＝＝. 答案　 　在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，a＝2，解此三角形． [解析]　由三角形内角和定理得 C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 根据正弦定理得，b＝＝＝＝， c＝＝＝＝＝＋1. [规律方法] 已知两角和任意一边解三角形的方法 [触类旁通] 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝4，cos A＝，cos B＝，则c＝________. 解析　因为cos A＝，cos B＝，所以sin A＝，sin B＝，所以sin C＝sin＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝， 因为＝，所以c＝＝＝. 答案　 　在△ABC中，解三角形． (1)b＝4，c＝8，B＝30°； (2)a＝，b＝2，A＝30°. [解析]　(1)由正弦定理，得 sin C＝＝＝1. ∵30°<C<150°，∴C＝90°. 从而A＝180°－(B＋C)＝60°. a＝＝4. ∴C＝90°，A＝60°，a＝4. (2)由＝， 得