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一、复数的相关概念
1.正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
2.两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
3.求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.
角度1 复数的概念
[典题1] 已知a∈R,i为虚数单位,若eq \f(a+2i,1+i)+i为实数,则a=( )
A.4
B.3
C.2
D.1
[解析] eq \f(a+2i,1+i)+i=eq \f(a+2i1-i,2)+i
=eq \f(a+2+2-ai,2)+i=eq \f(a+2+4-ai,2),
若该复数是实数,只需4-a=0,
解得a=4,故选A.
[答案] A
角度2 共轭复数
[典题2] 已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1eq \x\to(z2)是实数,则实数a等于( )
A.eq \f(3,4)
B.eq \f(4,3)
C.-eq \f(4,3)
D.-eq \f(3,4)
[解析] 复数z1=3+4i,z2=a+i,
eq \x\to(z2)=a-i,
所以z1eq \x\to(z2)=(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i.
因为z1eq \x\to(z2)是实数,所以4a-3=0,即a=eq \f(3,4),
故选A.
[答案] A
角度3 复数的几何意义
[典题3] 已知复数z满足z=(-1+3i)(1-i)-4.
(1)求复数z的共轭复数;
(2)若ω=z+ai,且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的取值范围.
[解析] (1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,
所以复数z的共轭复数为-2-4i.
(2)ω=-2+(4+a)i,复数ω对应向量为(-2,4+a),
其模为eq \r(4+4+a2)=eq \r(20+8a+a2).
又复数z所对应向量为(-2,4),其模为2eq \r(5),由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,得20+8a+a2≤20,即a2+8a≤0,
亦即a(a+8)≤0,
所以实数a的取值范围是-8≤a≤0.
二、复数的运算
复数四则运算一般用代数形式,加、减、乘运算按多项式运算法则计算,除法运算需把分母实数化.复数的代数运算与实数有密切联系,但又有区别,在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.
复数的运算包括