13.1.1 棱柱、棱锥和棱台（课后案）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版

[必备知识·基础巩固] (时间：15分钟，分值：30分) 1．(多选)下列说法中，不正确的是(　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形 C．正方体的所有棱长都相等 D．棱柱的所有棱长都相等 解析　棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其他侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱长与底面边长并不一定相等，选项D错误． 答案　ABD 2．下面图形中，为棱锥的是(　　) A．①③　　　　　　　　 B．①③④ C．①②④ D．①② 解析　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C． 答案　C 3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个空间图形为(　　) A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 解析　根据棱锥的定义可知该空间图形是三棱锥． 答案　D 4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm. 解析　因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为＝12(cm)． 答案　12 5．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种空间图形的4个顶点，这些空间图形是________．(写出所有正确结论的编号) ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体． 解析　在正方体ABCD­A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种空间图形的4个顶点，这些空间图形是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A­A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A­CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A­A1DC，故填①③④⑤. 答案　①③④⑤ 6．(5分)根据下列关于空间图形的描述，说出空间图形的名称： (1)由6个平行四边形围成的空间图形； (2)由7个面围成的空间图形，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形． 解析　(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱． (2)这是一个六棱锥． [关键能力·综合提升] (时间：15分钟，分值：20分) 7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与BD1既不相交又不平行的棱有(　　) A．3条 B．4条 C．6条 D．8条 解析　在平面A1B1C1D1上的四条棱中有A1B1，B1C1，在平面ABCD上的四条棱中有AD，CD，上下两底面之间的四条棱中，有AA1，CC1，故与BD1既不相交又不平行的棱共有6条． 答案　C 8．由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是(　　) A．三棱柱 B．三棱台 C．三棱锥 D．四棱锥 解析　该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台． 答案　B 9．一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体对角线的长是________． 解析　设长方体长、宽、高为分别x，y，z，则yz＝，xz＝，yx＝， 三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝， 解得x＝，y＝，z＝1，所以＝＝. 答案　 10．如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使A，B，C重合，重合后记为点P. 则折起后形成的空间图形是___________，若正方形边长为2a，则△DEF面积为___________． 解析　如图所示， 折起后的空间图形是三棱锥．S△DEF＝a2. 答案　三棱锥　a2 [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：10分) 11. 如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中， (1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？ (2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？ (3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状． 解析　(1)不对，水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形． (2)不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的空间图形是棱柱：水比较少时，是三棱柱；水多时，可能是四棱柱，但不可能是棱台或棱锥． (3)用任意一个平面去截长方体，其