12.3 复数的几何意义（课后案）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版

[必备知识·基础巩固] (时间：15分钟，分值：30分) 1．(多选)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值可以为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析　依题意可得＝2.解得m＝1或3. 答案　AC 2．向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数－3＋6i，则向量对应的复数为(　　) A．－3＋2i B．－2＋10i C．4－2i D．－12i 解析　向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，所以＝(1,4)，＝(－3,6)，所以＝－＝(1,4)－(－3,6)＝(4，－2) 所以向量对应的复数为4－2i. 答案　C 3．若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 解析　z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i， ∴|z|＝＝. 答案　C 4．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在直线x＋y＝1上，则实数m的值是________． 解析　因为复数(3＋i)m－(2＋i)可化为(3m－2)＋(m－1)i，所以复数对应的点为(3m－2，m－1)． 因为该点在直线x＋y＝1上， 所以(3m－2)＋(m－1)＝1即m＝1， 故答案为1. 答案　1 5．已知复数z＝a－i(a∈R)对应的点都在圆心在原点的单位圆内(不含边界)，则a的取值范围是________． 解析　由复数的几何意义知复数z＝a－i对应的点为，由解析几何的相关知识可知要满足题中的条件，只需使 <1， 即a2＋<1，a2<，－<a<. 所以a的取值范围是. 答案　 6．(5分)在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i. (1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； (2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数． 解析　(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)， 则点B的坐标为(x1，y1)， 由题意可知，点A的坐标为(2,1)， 根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1， 故z1＝2－i. (2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)， 则点C的坐标为(x2，y2)， 由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1， 故z2＝－2－i. [关键能力·综合提升] (时间：15分钟，分值：20分) 7．(多选)设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中错误的是(　　) A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 解析　2m2＋2m－1＝22－，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方． 答案　ABD 8．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应点的集合是(x，y)，则(　　) A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．一条线段 解析　由|z－i|＝1知复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆．故选C． 答案　C 9．(2021·上海卷)已知z＝1－3i，则|－i|＝________. 解析　∵z＝1－3i，∴＝1＋3i，∴－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|－i|＝＝. 答案　 10．若z∈C，|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值为____________． 解析　由题知|z－(－2＋2i)|＝1， 则z的对应点的轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，所以|z－(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离， 故最小值为圆心(－2,2)与点(2,2)的距离d＝4减去半径1，即|z－2－2i|的最小值为3. 答案　3 [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：10分) 11．已知复数z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β，|z1－z2|＝. (1)求cos(α－β)的值； (2)若－<β<0<α<，且sin β＝－，求sin α的值． 解析　(1)∵z1－z2＝(cos α－cos β)＋i(sin α－sin β)， ∵|z1－z2|＝，∴＝， ∴cos(α－β)＝. (2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π. 由(1)得cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.又∵sin β＝－， ∴cos β＝， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $