11.3余弦定理、正弦定理的应用（课后案）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：35分) 1．两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离分别为a n mile，2a n mile，灯塔A在观测站的北偏东35°的方向上，灯塔B在观测站的南偏东25°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　) A．3a海里　　　　　　 B．a海里 C．a海里 D．a海里 解析　根据题意，作出图形(图略)得 AB＝ ＝a(n mile)． 答案　B 2．如图所示，为测一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　) A．30(1＋)m B．15(2＋)m C．15(1＋2)m D．15(1＋)m 解析　由正弦定理可得＝， 故PB＝＝. 而树高h＝PBsin 45°＝＝30(1＋)(m)． 答案　A 3．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC＝(　　) A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 解析　∵sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝， ∴AB＝＝60(－)(m)． 在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝45°， 由正弦定理，得＝， ∴BC＝＝2×60(－)× ＝120(－1)(m)． 答案　C 4．如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量，交警小明在山顶A处观测到，一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点C点历时14 s，则这辆汽车的速度为________ m/s. 解析　分析知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°， ∴在△ABD和△ACD中，AB＝200，AC＝100， ∴在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝100 000，即BC＝100， ∴这辆汽车的速度为＝＝(m/s)． 答案　 5．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m. 解析　根据图示，AC＝100 m. 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理，得 ＝⇒AM＝100 m. 在△AMN中，＝sin 60°， ∴MN＝100×＝150(m)． 答案　150 6．(10分)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12海里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需要的时间和角α的正弦值． 解析　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇， 则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得x＝2.故AC＝28，BC＝20. 根据正弦定理得＝， 解得sin α＝＝. [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．如图所示，有一垂直于地面的建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40 m的基线AB，若在点A处测得点P的仰角为30°，在点B处测得点P的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为(　　) A．20 m B．20 m C．20 m D．40 m 解析　设建筑物的高度为h m. 依题意，可得PO⊥OA，PO⊥OB，∠PBO＝45°， ∠PAO＝30°， 所以OB＝OP＝h m，OA＝＝h m. 由余弦定理，可得 AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos ∠AOB， 即1 600＝3h2＋h2－3h2，解得h＝40， 所以建筑物的高度为40 m. 答案　D 8．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析　设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h.根据余弦定理，得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－