11.1 余弦定理（课后案）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】苏教版

[必备知识·基础巩固] (时间：20分钟，分值：30分) 1．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则A＝(　　) A．30°　　 B．60°　　 C．120°　　 D．150° 解析　由余弦定理，得cos A＝＝＝－， 因为A∈(0°，180°)，所以A＝120°. 答案　C 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不存在 解析　因为c2<a2＋b2，所以由余弦定理得 cos C＝>0，所以C是锐角． 又因为a<b<c，所以C为最大的角．故A和B也都是锐角，所以△ABC为锐角三角形． 答案　B 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 解析　由>0得－cos C>0， 所以cos C<0，从而C为钝角， 因此△ABC一定是钝角三角形． 答案　C 4．在△ABC中，已知b＝，c＝3，B＝30°，则a＝____________. 解析　由b＝，c＝3，B＝30°及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得3＝a2＋9－2×a×3×cos 30°，即a2－3a＋6＝0，所以a＝或a＝2. 答案　或2 5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝________. 解析　因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos 60°，即c2＝a2＋b2－ab.　① 又因为(a＋b)2－c2＝4， 所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.　② 由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝. 答案　 6．在△ABC中，若2∠B＝∠A＋∠C，b2＝ac，则△ABC的形状为________． 解析　∵2∠B＝∠A＋∠C， 又∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝60°. 又b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 60°＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－ac＝ac，从而(a－c)2＝0， ∴a＝c，可得△ABC为等边三角形． 答案　等边三角形 [关键能力·综合提升] (时间：20分钟，分值：25分) 7．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为(　　) A． B． C． D．3 解析　由BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A，得cos A＝.∵A为△ABC的内角，∴A＝，∴AC边上的高h＝AB·sin A＝3×＝. 答案　B 8．(2021·浙江卷)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________，cos∠MAC＝________. 解析　由题意结合余弦定理可得BC＝8，进而可得AC，再由余弦定理可得cos∠MAC． 由题意作出图形，如图， 在△ABM中，由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2BM·BA·cos B， 即12＝4＋BM2－2BM×2×， 解得BM＝4(负值舍去)， 所以BC＝2BM＝2CM＝8， 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝4＋64－2×2×8×＝52， 所以AC＝2； 在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝＝＝. 答案　2　 9．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝____________. 解析　∵b＋c＝7，∴c＝7－b. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×， 解得b＝4. 答案　4 10．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B的大小； (2)若c＝3a，求tan A的值． 解析　(1)因为a2＋c2－b2＝ac， 所以cos B＝＝. 因为0<B<π，所以B＝. (2)将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝a. 由余弦定理，得cos A＝＝. 因为0<A<π， 所以sin A＝＝， 所以tan A＝＝. [核心素养·探索创新] (时间：10分钟，分值：12分) 11．在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D．已知B，C两市相距20 km，C，D相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离． 解析　由题意得在△ABC中， AB－AC＝1.5×8＝12(km)． △ACD中，AD－A