湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(五)数学试题

长沙市一中2023届高三月考试卷（五） 数 学 时量：120分钟 满分：150分 得分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度与时间的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则=（ ） A. 244 B. 1 C. D. 5. 若，则（ ） A B. C. D. 1 6. 如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（　　） A. r+R B. r+R C. r+R D. r+R 8. 已知正方体的棱长为3，为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列说法，其中正确是（ ） A. 对于独立性检验，的值越大，说明两事件相关程度越大 B. 若随机变量，，则 C. 若随机变量，则 D. 在回归分析中，对一组给定的样本数据，…，而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好 10. 如图，正四棱锥的底面边长与侧棱长均为，正三棱锥的棱长均为，（ ） A. B. 正四棱锥的内切球半径为 C. ，，，四点共面 D. 平面 平面 11. 已知函数，下列四个选项正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 在，上为减函数 D. 的最大值为 12. 已知关于的方程有且仅有两解，且，则（ ） A. 函数与的图象有唯一公共点 B. C. ， D. 存在唯一满足题意，且 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率为__________． 14. 已知，若存在常数，使得对任意的正整数n都有，则的最小值为______. 15. 如图，双曲线E：的左、右焦点分别为，，过作以为圆心、为半径的圆的切线，切点为T.延长交E的左支于P点，若M为线段的中点，且，则E的离心率为______. 16. 已知定义在上的单调递增函数，对于任意的，都有，且恒成立，则______. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若，AB边上的中线，求ABC的面积. 18. 记为数列的前n项和，已知. （1）求； （2）设，数列的前n项和为，证明：. 19. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q. （1）已知平面平面，求证： （2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值. 20. 已知F是抛物线C：的焦点，以F为圆心，2p为半径的圆F与抛物线C交于A，B两点，且. （1）求抛物线C和圆F的方程； （2）若点P为圆F优弧AB上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. “学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为. （1）记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为 ，求的分布列与数学期望； （2）“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个