专题10 全等三角形之半角模型-2023年中考数学几何模型专项复习与训练（四川专用）

专题10 全等三角形之半角模型 模型一、等腰直角三角形中的半角模型 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（1） 作法1：将△ABD旋转90° 作法2：分别翻折△ABD,△ACE 模型二、正方形中的半角模型 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° 例1．（2018·四川成都·中考模拟）如图，正方形ABCD中，已知AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，则△AEF的面积为_____． 【答案】9﹣3 例2．（2019·四川达州·中考模拟）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 如图1，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E． （1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论； （2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决； 小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2） 小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；请你从中任选一种方法进行证明； （3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2＝DE2仍然成立，先请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD2+CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【变式训练1】如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 【变式训练2】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 【变式训练3】学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题： “如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．” 小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°． 把△ABE绕点A逆时针旋转到的位置，然后证明，从而可得． ，从而使问题得证． (1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题： 如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系． (2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求证：EF＝BE＋DF． (3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是的内接四边形，BC是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC与AP的关系． 【变式训练4】（1）阅读理解 如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABG．易证AEF≌ ，得出线段BF，DE，EF之间的关系为 ； （2）类比探究 如图2，在等边ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长； （3）拓展应用 如图3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，请直接写出线段BD的长． 【变式训练5】如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长． 课后训练 1．如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP•D