专题17 直线与圆及相关的最值问题（讲）-备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题17直线与圆及相关的最值问题（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2020·全国·统考高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·北京·统考高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 3．（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 （1）直线、圆的方程及位置关系问题，多以选择题或填空题的形式呈现，此类试题难度中等偏下.有时也会出现在压轴题的位置，难度较大. （2）和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，中低难度. （3）和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度． （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 求直线方程 【核心知识】 1． 直线方程的几种形式： 2． 两直线平行、垂直的条件： 【典例分析】 典例1.（2020·山东·统考高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 典例2.（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【规律方法】 解决直线方程问题的注意点 (1)求解两条直线平行的问题时，在利用建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性． (2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在． (4)直线与圆相切时,利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，一般求切线方程时主要选择点斜式． 考向二 求圆的方程 【核心知识】 1. 圆的标准方程： 2. 圆的一般方程： 【典例分析】 典例3.（2023·全国·模拟预测）已知圆：与直线：，写出一个半径为，且与圆及直线都相切的圆的方程：______． 典例4.（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 典例5.（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【总结提升】 求圆的方程一般有两种方法 (1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 考向三 直线、圆的距离问题 【核心知识】 点到直线不同时为零)的距离. 【典例分析】 典例6.（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知直线与圆相交于两点，是线段的中点，则点到直线的距离的最大值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 典例7.（2023·四川绵阳·统考二模）已知，点A为直线上的动点，过点作直线与相切于点，若，则最小值为（    ） A． B． C． D．4 典例8.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 典例9.（2023·重庆·统考一模）已知圆：上恰有3个点到直线：的距离等于2，则的值为_________． 【规律方法】 （1）求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式. （2）求两平行线之间的距离时，应先将两直线方程化为一般式且的系数对应相等. （3）求曲线上任意一点到已知直线的最小距离时，要利用数形结合和转化与化归的思想解题. 考向四 直线与圆、圆与圆位置关系判断 【核心知识】 1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法． (2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组 消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离． 【典例分析】 典例10.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 典例11.【多选题】（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知直线与圆，则（    ） A