第9章 解三角形 章末达标检测（课时作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版

[时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C．2 D．3 解析　△ABC中，根据余弦定理可得 5＝b2＋4－2·b·2×，整理得3b2－8b－3＝0， 解得b＝3或b＝－(舍去)，∴b＝3. 答案　D 2．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于(　　) A．3∶2∶1 B．∶∶1 C.∶2∶1 D．2∶∶1 解析　由三角形内角和定理，得三个内角的度数分别为A＝90°，B＝60°，C＝30°，利用正弦定理的变形，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶∶1. 答案　D 3．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝(　　) A．4 B．1 C. D． 解析　由正弦定理得＝， 由余弦定理得cos A＝， ∵a＝4，b＝5，c＝6， ∴＝＝2··cos A ＝2··＝2××＝1. 故选B. 答案　B 4．在△ABC中，BC＝3，AC＝，B＝，则△ABC的面积是(　　) A．3 B．6 C. D． 解析　由余弦定理，得 AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos B， 即13＝BA2＋9－2BA·3cos ， 整理得BA2－3BA－4＝0， 解得BA＝4或BA＝－1(舍去)， 所以S＝BA·BCsin B＝×4×3sin ＝3. 答案　A 5.要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下方法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽约为(　　) (参考数据：≈2.45，sin 75°≈0.97) A．170 m B．98 m C．95 m D．86 m 解析　在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°， 由正弦定理，得BC＝×120＝40. 设△ABC中AB边上的高为h， 则h＝BC·sin∠CBA＝40·sin 75°≈95 m， 即河宽约为95 m．故选C. 答案　C 6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，则B＝(　　) A. B． C. D． 解析　设△ABC的外接圆半径为R， 根据正弦定理＝＝＝2R， 得＝＝， 即a2＋c2－b2＝ac， 所以cos B＝＝，故B＝. 答案　C 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则△ABC的周长为(　　) A．18 B．16 C．20 D．15 解析　在△ABC中，由cos A＝－， 可得sin A＝， 所以bc·＝3，即bc＝24. 由余弦定理得a2＝b2＋c2＋2bc·＝b2＋c2＋bc， 联立得解得 则△ABC的周长为a＋b＋c＝18，故选A. 答案　A 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos A＝bsin A，且B>，则sin A＋sin C的最大值是(　　) A. B． C．1 D． 解析　因为＝＝， 所以sin B＝cos A＝sin， 因为B>，所以B＝＋A， 所以sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B) ＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A ＝－2sin2A＋sin A＋1＝－22＋， 所以当sin A＝时，sin A＋sin C取最大值. 答案　B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列命题中，正确的是(　　) A．在△ABC中，A>B，则sin A>sin B B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立 C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 解析　对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2