9.1 习题课 解三角形中的最值(范围)问题 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

习题课　解三角形中的最值(范围)问题 [学习目标]　1.掌握解三角形中最值(范围)问题的常见类型及解决方法.2.进一步巩固正弦定理和余弦定理在解题中的综合运用． 导语 解三角形中往往涉及三角形的边、角、周长、面积等最值或范围问题．解决这类问题一般转化为条件最值或范围问题：根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用均值不等式或函数方法求最值． 一、与三角形的边相关的范围或最值问题 例1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，(b－c)·(sin B＋sin C)＝a(sin A－sin C)． (1)求B的值； (2)若b＝3，求a＋c的最大值． 解　(1)在△ABC中，由正弦定理得(b－c)(b＋c)＝a(a－c)，即b2＝a2＋c2－ac，由余弦定理得， cos B＝＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)由(1)知9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac， 于是＝ac≤2， 解得a＋c≤6，当且仅当a＝c＝3时取等号． 所以a＋c的最大值为6. 反思感悟　求与三角形的边相关的最值问题，一般先通过正弦、余弦定理求相关边，再利用均值不等式或函数解决最值问题． 跟踪训练1　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径R＝2，且△ABC的面积S＝，则ab＋c的最小值为(　　) A．8 B．4 C．2 D．3 答案　A 解析　由正弦定理可知sin C＝＝， 所以S＝absin C＝ab×＝， 即abc＝8. 故ab＋c≥2＝2＝8， 当且仅当ab＝c＝4时，等号成立， 所以ab＋c的最小值为8. 二、与三角形的角或角的三角函数相关的范围或最值问题 例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2－a2＝ac，则－的取值范围是________． 答案　 解析　由正弦定理得sin2B－sin2A＝sin Asin C， 由降幂公式得＝sin Asin C， 即－2sin(A＋B)·sin(A－B)＝2sin A·sin C， 又∵sin(A＋B)＝sin C≠0， 化简得，sin(B－A)＝sin A. 在三角形中得B＝2A， ∴C＝π－3A， 由三角形为锐角三角形得 ∴<A<，<B<， 而－＝. ∵<B<，∴sin B∈， ∴1<<，即－∈. 反思感悟　求三角函数式的范围一般先确定角的范围，利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值，有时也利用均值不等式求最值． 跟踪训练2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝________，角C的最大值为________． 答案　2　 解析　∵2sin Asin Bcos C＝sin2C， ∴2abcos C＝c2⇒a2＋b2－c2＝c2⇒＝2， ∴cos C＝＝≥， ∵0<C<π，∴0＜C≤，当且仅当a＝b时取等号． 即角C的最大值为. 三、与三角形的周长相关的范围或最值问题 例3　在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ∵sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C， 由正弦定理可得a2－b2－c2＝bc， 即为b2＋c2－a2＝－bc， ∴cos A＝＝－＝－， 由0<A<π，可得A＝. (2)由(1)得A＝，由题意可得a＝3， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2bccos ， 可得9＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc， ∴(b＋c)2－9＝bc≤， ∴≤9，(b＋c)2≤12， ∴b＋c≤2，∴a＋b＋c≤3＋2. 当且仅当b＝c＝时，等号成立， 即△ABC周长的最大值为3＋2. 反思感悟　周长问题也可看作是边长问题的延伸，所以在解决周长相关问题时，着眼于边长之间的关系，结合边长求最值(范围)的解决方式，通常都能找到正确的解题途径． 跟踪训练3　在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，c＝，求△ABC周长的取值范围． 解　由正弦定理得＝＝＝2， ∴a＝2sin A，b＝2sin B， 则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋＝2＋ ＝2＋ ＝2＋ ＝2sin＋. ∵0<A<， ∴<A＋<， ∴<sin≤1， ∴2<2sin＋≤2＋， ∴△ABC周长的取值范围是(2，2＋]． 四、与三角形的面积相关的范围或最值问题 例4　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin ＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 解　(1)由题设及正弦定理得sin Asin ＝sin Bsin A. 因为sin A≠0，所以sin ＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ， 故cos ＝2sin cos . 因为cos ≠0，故sin ＝， 因此B＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC的面积 S△ABC＝acsin B＝a. 又由(1)知A＋C＝120°， 故由正弦定理得 a＝＝＝＋. 由于△ABC为锐角三角形， 故0°<A<90°，0°<C<90°. 结合A＋C＝120°， 所以30°<C<90°，故<a<2， 从而<S△ABC<. 因此△ABC面积的取值范围是. 反思感悟　面积问题是边长与角问题的综合，解题中既要考虑边的变化，也要考虑相关角的变化，通常是利用面积公式，将其转化为同一类元素，然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解． 跟踪训练4　在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a＝2，·＝1，则△ABC面积的最大值为________． 答案　 解析　∵·＝bccos A＝1， ∴cos A＝>0， sin A＝＝＝， 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴4＝b2＋c2－2， ∴6＝b2＋c2≥2bc(当且仅当b＝c＝时取等号)， ∴bc≤3， ∴S△ABC＝bcsin A＝≤×＝， 即当b＝c＝时，△ABC的面积取得最大值，最大值为. 1．知识清单： (1)与三角形的边相关的范围或最值问题． (2)与三角形的角或角的三角函数相关的范围或最值问题． (3)与三角形的周长相关的范围或最值问题． (4)与三角形的面积相关的范围或最值问题． 2．方法归纳：化归与转化、函数思想． 3．常见误区：易忽略边或角的隐含范围的挖掘． 1．在非等边三角形中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则角A的取值范围为(　　) A. B.　C. D. 答案　A 解析　∵a2<b2＋c2，∴b2＋c2－a2>0，∴cos A>0，A<，∵a是最大的边，∴A是最大的角，∴A>，∴<A<. 2．钝角三角形的三边长分别为a，a＋1，a＋2，其最大内角不超过120°，则a的取值范围是(　　) A．(0,3) B. C．(2,3] D. 答案　B 解析　∵钝角三角形的三边长分别是a，a＋1，a＋2，其最大内角不超过120°， ∴ 解得≤a<3. 3．在△ABC中，若C＝2B，则的取值范围为________． 答案　(1,2) 解析　因为A＋B＋C＝π，C＝2B， 所以A＝π－3B>0，所以0<B<， 所以<cos B<1,1<2cos B<2. 又＝＝＝2cos B，故1<<2. 4．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________． 答案　2 解析　在△ABC中，由＝＝， 得AB＝·sin C＝sin C＝2sin C， 同理BC＝2sin A. 所以AB＋2BC＝2sin C＋4sin A ＝2sin C＋4sin(120°－C) ＝4sin C＋2cos C ＝2sin(C＋φ). 又因为0°<C<120°，所以AB＋2BC的最大值为2. 1．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是(　　) A. B．(10，＋∞) C．(0,10) D. 答案　D 解析　∵＝＝， ∴c＝sin C. 又0<sin C≤1，∴0<c≤. 2．△ABC的三边上的高分别为h1，h2，h3.若h1∶h2∶h3＝∶∶，则最大角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　△ABC的三边上的高满足h1∶h2∶h3＝∶∶，故可得对应的边长之比为6∶5∶4，可设△ABC的三边分别为6m,5m,4m(m>0)，则6m所对的角最大，故由余弦定理可得最大角的余弦值为＝. 3．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是(　　) A．(1,7) B．(1,5) C．(，5) D．(，5) 答案　C 解析　∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形， ∴cos A＝>0， 且cos C＝>0，∴7<a2<25， ∴<a<5. 4．锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝2B，则的取值范围是(　　) A．(0,2) B．(，) C．(，2) D．(1，) 答案　B 解析　由正弦定理得＝，又C＝2B， 所以＝＝＝＝2cos B. 因为A＋B＋C＝π，所以3B＋A＝π， 即A＝π－3B. 因为A为锐角，所以<B<. 又0<C＝2B<，所以<B<， 所以<cos B<，即<2cos B<， 故的取值范围是(，)． 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　C 解析　根据题意，由余弦定理可得c＝＝＝3. 因为a>b>c，所以A>B>C，即A为最大角． 因此cos A＝＝＝－. 6．(多选)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　) A．若A>B，则sin A>sin B B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解 C．若△ABC为钝角三角形，则a2＋b2<c2 D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为 答案　ABD 解析　对于A选项，若A>B，则a>b，由正弦定理可得＝，所以sin A>sin B，故A正确； 对于B选项，bsin A＝4sin 30°＝2，则bsin A<a<b，所以△ABC有两解，故B正确； 对于C选项，当△ABC为钝角三角形，且C为钝角时，cos C＝<0，可得a2＋b2<c2，若C不为钝角，则得不到a2＋b2<c2，故C错误； 对于D选项，由余弦定理与均值不等式可得4＝a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc， 即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立， 所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤，故D正确． 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos C＋(c－2b)cos A＝0，b＝2，≤B≤，则A＝________，边长c的取值范围为________． 答案　　[2，＋1] 解析　因为acos C＋(c－2b)cos A＝0， 所以sin Acos C＋(sin C－2sin B)cos A＝0， 即sin Acos C＋cos Asin C－2sin Bcos A＝0， 即sin(A＋C)－2sin Bcos A＝0， 即sin B－2sin Bcos A＝0. 因为sin B>0，所以cos A＝. 又因为0<A<π，所以A＝. 由正弦定理得，＝， 则c＝＝＝＝＋1. 因为≤B≤，所以1≤tan B≤， 所以2≤＋1≤＋1， 则c∈[2，＋1]． 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＋c2＝2a2，则cos A的最小值为________． 答案　 解析　在△ABC中，由余弦定理可知cos A＝≥＝＝，当且仅当b＝c＝a时，等号成立． 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围． 解　(1)由已知，得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A·cos B＝0，即sin Asin B－sin Acos B＝0. 因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0. 又cos B≠0，所以tan B＝. 又0<B<π， 所以B＝. (2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B. 因为a＋c＝1，cos B＝， 所以b2＝32＋. 又0<a<1， 所以≤b2<1， 即≤b<1. 10．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且a2＋b2－c2＝4S，c＝1，求b－a的最大值． 解　∵在△ABC中，S＝absin C， cos C＝，且a2＋b2－c2＝4S， ∴2abcos C＝4×absin C， ∴tan C＝. ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∵c＝1，∴＝＝＝2， ∴a＝2sin A，b＝2sin B＝2sin， ∴b－a＝2sin B－2sin A＝2sin－2sin A＝2－2sin A ＝cos A＋sin A＝2sin≤2， 当A＝时取等号． ∴b－a的最大值为2. 11．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＝a(a＋c)，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及b2＝a(a＋c)，得ac＝c2－2accos B．又c≠0， ∴a＝c－2acos B. 由正弦定理，得sin A＝sin C－2sin Acos B＝sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin(B－A)． ∵△ABC为锐角三角形，∴A＝B－A，∴B＝2A. ∵0<A<，0<B＝2A<，0<π－A－B＝π－3A<，∴<A<. 又sin A≠0，∴＝sin A∈. 12．设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c(1＋cos A)＝asin C，b＝2，则△ABC的面积的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B. C. D．(1,2) 答案　C 解析　由c(1＋cos A)＝asin C及正弦定理可得sin C(1＋cos A)＝sin Asin C. 因为C为锐角，则sin C≠0， 所以sin A－cos A＝1， 即2sin＝1，所以sin＝. 又0<A<， 所以－<A－<， 则A－＝，即A＝. 由正弦定理＝， 得c＝＝＝＝1＋. 因为△ABC为锐角三角形， 所以 解得<B<， 所以tan B>， 所以S△ABC＝bcsin A＝c＝∈. 13.如图，在△ABC中，AC＝BC，C＝，O是△ABC外一点，OA＝2，OB＝1，则平面四边形OACB面积的最大值是________． 答案　＋ 解析　由题意可知△ABC为等腰直角三角形，设AC＝BC＝m，则AB＝m. 设∠AOB＝θ，则在△AOB中，由OA＝2，OB＝1及余弦定理可知12＋22－2m2＝4cos θ， ∴m2＝. ∴S△OAB＝sin θ，S△ABC＝＝－cos θ. 记平面四边形OACB的面积为S， 则S＝－cos θ＋sin θ＝＋sin. ∵0<θ<π，∴－<θ－<. ∴当θ－＝，即θ＝时，平面四边形OACB面积最大，最大值是＋. 14．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知＝，则C＝________；的取值范围为________． 答案　　(－，0)∪(0,2) 解析　由＝，得(2a－b)cos C＝ccos B. 由正弦定理得(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B， 整理得2sin Acos C＝sin(C＋B)＝sin A. 又因为A∈(0，π)，则sin A≠0， 所以cos C＝， 又由C∈(0，π)，所以C＝. 因为cos B≠0， 所以B∈∪， 所以cos B∈∪(0,1)． 由余弦定理，得＝2cos B， 所以∈(－，0)∪(0,2)． 15.我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写成公式，即S＝(其中S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边)．在非直角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a＝3且a＝c(cos B＋cos C)，则△ABC面积的最大值是________，此时△ABC外接圆的半径为________． 答案　　3 解析　由a＝c(cos B＋cos C)及正弦定理， 得sin A＝sin C(cos B＋cos C)＝sin(B＋C)， 所以sin Ccos B＋sin Ccos C＝sin Bcos C＋sin Ccos B， 则sin Ccos C＝sin Bcos C. 因为cos C≠0，所以sin C＝sin B. 结合正弦定理得b＝c， 所以S＝ ＝ ＝ ＝. 故当c2＝9，即c＝3时， △ABC的面积最大，最大值Smax＝， 所以b＝3.又a＝3， 所以cos A＝＝＝. 又A∈(0，π)，所以A＝. 设△ABC外接圆的半径为R， 则2R＝＝＝6，所以R＝3. 16．设f(x)＝sin xcos x－cos2，x∈R. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f ＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值． 解　(1)f(x)＝sin xcos x－cos2，x∈R. 化简可得，f(x)＝sin 2x－－cos ＝sin 2x＋sin 2x－＝sin 2x－， 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z. 可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z. (2)由f ＝0，得sin A－＝0， 可得sin A＝，∵0<A<，∴cos A＝. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得1＋bc＝b2＋c2. ∵b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时，等号成立． ∴1＋bc≥2bc，∴bc≤2＋. ∴△ABC的面积为S＝bcsin A≤. 故△ABC面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$