11.1.6 祖暅原理与几何体的体积（课时作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版

1．设正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的，则它的体积是原来的(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D． 解析　底面边长变为原来的后，面积变为原来的，高变为原来的，所以体积是原来的. 答案　B 2．棱长为2的正方体的外接球体积为(　　) A．12π B．13π C．12π D．4π 解析　正方体外接球的直径为正方体的体对角线长，再代入公式即可． 答案　D 3．如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40 cm，上口直径约为28 cm，经测量可知圆台的高约为16 cm，圆柱的底面直径约为18 cm，则该组合体的体积约为(　　) (其中π的值取3，V圆台＝(S上＋S下＋)h A．11 280 cm3 B．12 380 cm3 C．12 680 cm3 D．12 280 cm3 解析　由题意得圆柱的高约为40－16＝24，则何尊的体积V＝V圆台＋V圆柱＝××16＋π×92×24≈12 280，故选D. 答案　D 4．(多选题)把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为(　　) A. B． C. D． 解析　如图所示，当BC为圆柱的底面周长，AB为高时，底面半径r1＝， 则体积V1＝πr·AB＝π2×6＝； 当AB为圆柱的底面周长，BC为高时， 底面半径r2＝＝， 则体积V2＝πr·BC＝π2×3＝. 答案　AB 5．半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为______． 解析　设圆锥半径为r，高为h， 则∴∴V＝πr2·h＝. 答案　 6．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是________． 解析　截去的8个棱锥体积相等，正方体的体积为1，截去的8个棱锥的体积为8×××××＝，所以剩余的凸多面体的体积为1－＝. 答案　 7．(多选题)已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm，宽为6 cm的矩形，则此三棱柱的体积为(　　) A. cm3 B．9 cm3 C．18 cm3 D．27 cm3 解析　当三棱柱的高为6时，正三棱柱底面正三角形的边长为3，则此三棱柱的体积V＝sh＝×32×6＝ cm3. 当三棱柱的高为9时，正三棱柱底面正三角形的边长为2， 则此三棱柱的体积V＝sh＝×22×9＝9 cm3. 答案　AB 8．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是(　　) A．d≈ B．d≈ C．d≈ D．d≈ 解析　∵球的体积V＝π×3， ∴d3＝V＝V. ∵π＝3.14159…，∴＝1.57079…. 记d1＝，∴d＝V＝V； d2＝，∴d＝2V＝V； d3＝，∴d＝V； d4＝，∴d＝V. ∵≈1.69，≈1.571，∴，1.5,1.57，中，最接近.∴d4更精确． 答案　D 9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，估算出堆放的米约有________立方尺．(　　) A. B． C. D． 解析　设米堆所在圆锥的底面半径为r尺， 则×2πr＝8，解得r＝， 所以米堆的体积为 V＝××πr2×5＝≈(立方尺)， 所以堆放的米约有立方尺． 答案　B 10．一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm. (1)求圆锥体的高； (2)若有一球刚好放进该圆锥体(球与圆锥的底面相切)中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间的体积． 解析　(1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝＝＝8 cm，所以圆锥体的高为8 cm. (2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r. 易得△OCD∽△ACO1， ∴＝， ∴＝，解得r＝3 cm， 圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积， 即V圆锥－V球＝·π·62×8－π·33 ＝96π－36π＝60π cm3. ∴此时圆锥体剩余空间的体积为60π cm3. 11.如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体A1B1C1D1 ­ABCD，设矩形ABCD的面积为S，长方体A1B1C1D1 ­ABC