9.2 正弦定理与余弦定理的应用（课时作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版

1．(多选题)下列说法正确的为(　　) A．已知三角形的三个角，能够求其三条边 B．两个不可到达的点之间的距离无法求得 C．东偏北45°的方向就是东北方向 D．仰角与俯角所在的平面是铅垂面 解析　已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故A错误． 两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故B错误．C，D正确． 答案　CD 2．地处赣江东岸的腾王阁与岳阳楼、黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一、“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”．“云销雨霁，彩彻区明．落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色．渔舟唱晚，响穷彭蠡之滨；雁阵惊寒，声断衡阳之浦”是唐代文学家王勃对腾王阁的生动描写．某位游客(身高忽略不计)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进72米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝AC，则楼高AB约为(　　) A．58米　　　　　　　 B．68米 C．78米 D．88米 解析　设AC＝x，则由题意可得AB＝2x，BC＝BE＝x，BD＝＝2x，所以DE＝BD－BE＝2x－x＝72，解得x＝≈≈29.2， 所以楼高AB≈2×29.2＝58.4≈58. 答案　A 3.如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　) A．240(－1) m B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(＋1) m 解析　∵sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝， ∴AB＝＝60(－)(m)． 在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝45°， 由正弦定理，得＝， ∴BC＝＝2×60(－)× ＝120(－1)(m)． 答案　C 4．某日，我渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以30(－1)海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处发现北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，发现该小岛在北偏东45°方向上，若该船向北继续航行，船与小岛的最小距离可以达到________海里． 解析　如图所示， 由题意得：AD⊥CD，∠A＝30°，∠DBC＝45°， 则AB＝×30(－1)＝10(－1)，∠ABC＝135°，∠ACB＝15°. 在△ABC中，由正弦定理得＝， 所以BC＝＝＝＝10， 所以CD＝BCsin 45°＝10×＝10. 答案　10 5.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m. 解析　根据图示，AC＝100 m. 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理，得＝， 代入AC解得AM＝100 m. 在△AMN中，＝sin 60°， ∴MN＝100×＝150(m)． 答案　150 6.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值． 解析　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得x＝2.故AC＝28，BC＝20. 根据正弦定理得＝， 解得sin α＝＝. 7.如图所示，有一垂直于地面的建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40 m的基线AB，若在点A处测得点P的仰角为30°，在点B处测得点P的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为(　　) A．20 m B．20 m C．20 m D．40 m 解析　设建筑物的高度为h m. 依题意，可得PO⊥OA，PO⊥OB，∠PBO＝45°， ∠PAO＝30°， 所以OB＝OP＝h m，OA＝＝h m. 由余弦定理，可得 AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB， 即1 600＝3h2＋h2－3h2，解得h＝40 m， 所以建筑物的高度为40 m. 答案　D 8．(多选题)(2021·济宁月考)如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份文件交给这辆汽车的司机，快艇的速度可以为多少(