9.1.2 余弦定理（课时作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版

1．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则A等于(　　) A．30°　　　　　　　 B．60° C．120° D．150° 解析　由余弦定理，得 cos A＝＝＝－，所以A＝120°. 答案　C 2．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则角C不可能为(　　) A．90° B．30° C．75° D．120° 解析　因为c<a＋b， 所以由余弦定理得cos C＝>0， 所以C是锐角． 又因为a<b<c，所以C为最大的角， 所以C＞60°.故选A，B，D. 答案　ABD 3．若三角形三边长之比是1∶∶2，则其所对角之比是(　　) A．1∶2∶3 B．1∶∶2 C．1∶∶ D．∶∶2 解析　设三角形三边长分别为m，m,2m(m>0)，最大角为A， 则cos A＝＝0，∴A＝90°. 设最小角为B， 则cos B＝＝， ∴B＝30°，∴C＝60°. 故三角形三角之比为1∶2∶3. 答案　A 4．在△ABC中，已知b＝，c＝3，B＝30°，则a＝________. 解析　由b＝，c＝3，B＝30°及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得3＝a2＋9－2·a·3·cos 30°，即a2－3a＋6＝0，所以a＝或a＝2. 答案　或2 5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin C＝2sin A，b＝a，则B＝________. 解析　由题设及正弦定理边角关系可得c＝2a，而b＝a， 又cos B＝＝＝， 又0<B<π，所以B＝. 答案　 6．在△ABC中，若2∠B＝∠A＋∠C，b2＝ac，则△ABC的形状为________． 解析　∵2∠B＝∠A＋∠C， 又∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝60°， 又b2＝ac， 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos∠B ＝a2＋c2－2accos 60°＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－ac＝ac，从而(a－c)2＝0， ∴a＝c，可知△ABC为等边三角形． 答案　等边三角形 7．(多选题)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，已知∶∶＝5∶6∶7，则下列结论正确的是(　　) A．sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶3 B．sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4 C．△ABC是锐角三角形 D．△ABC是钝角三角形 解析　设a＋b＝5k，b＋c＝6k，a＋c＝7k，解得a＝3k，b＝2k，c＝4k，故sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶2∶4，故A错误，B正确．∵c>a>b，∴C为最大内角，cos C＝＝＝－<0，∴C为钝角，故C错误，D正确． 答案　BD 8．若将直角三角形的三边分别增加同样的长度，组成新三角形，则新三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定 解析　设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2.三边都增加x(x>0)，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形． 答案　A 9．(多选题)在钝角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，b＝3，则最大边c的取值可能为(　　) A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4 解析　∵a＝1，b＝3，∴3－1＜c＜3＋1， 即2＜c＜4. 又△ABC为钝角三角形，∴cos C＜0. ∴a2＋b2－c2＜0，即c2＞a2＋b2＝10， 即c＞，∴＜c＜4. 答案　ABC 10．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B的大小； (2)若c＝3a，求tan A的值． 解析　(1)因为a2＋c2－b2＝ac， 所以cos B＝＝. 因为0<B<π，所以B＝. (2)将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝a. 由余弦定理，得cos A＝＝. 由0<A<π， 所以sin A＝＝， 所以tan A＝＝. 11．在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)a的值； (2)sin C和△ABC的面积． 条件①：c＝7，cos A＝－； 条件②：cos A＝，cos B＝. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 解析　选① (1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， b＝11－a，c＝7， 得a2＝(11－a)2＋49－2(11－a)×7×， ∴a＝8. (2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝. 由正弦定理＝， 得sin C＝