9.1.1 正弦定理（课时作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第四册【精讲精练】人教B版

1．(多选题)已知△ABC满足a>b，则下列结论正确的是(　　) A．A>B　　　　　　　 B．sin A>sin B C．cos A<cos B D．sin 2A>sin 2B 解析　由大边对大角可知A>B，所以A正确； 由正弦定理知sin A>sin B，所以B正确； 由A>B，且y＝cos x在(0，π)单调递减， 可知cos A<cos B，所以C正确； 当A＝90°，B＝30°时，a>b， 此时sin 2A<sin 2B，所以D错误． 答案　ABC 2．一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对的边长是(　　) A．4 B．12 C．4 D．12 解析　设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得＝.得x＝＝＝12，故选D. 答案　D 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B等于(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．60°或 135° 解析　由正弦定理＝，故sin B＝＝＝，因为B∈，故B＝60°或120°. 答案　C 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝2，b＝，B＝，则△ABC为(　　) A．等腰直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析　由正弦定理，得sin C＝＝＝1，∴C＝.又B＝，∴△ABC是等腰直角三角形．故选A. 答案　A 5．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝60°，则BC＝________. 解析　根据正弦定理，＝，解得BC＝. 答案　 6．在△ABC中，若B＝2A，a∶b＝1∶，则A＝________. 解析　由正弦定理＝知， ＝＝，所以sin B＝sin A＝sin 2A. 因为A为△ABC的内角， 所以cos A＝，所以A＝30°. 答案　30° 7．(多选题)(2022·衡水模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B＝(　　) A．30° B．150° C．60° D．120° 解析　由正弦定理＝， 得sin B＝＝＝. 又b＞a,0°＜B＜180°， 所以B＝60°或B＝120°.故选C，D. 答案　CD 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　) A. B． C. D． 解析　因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0， 所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 整理得sin C(sin A＋cos A)＝0. 因为sin C≠0， 所以sin A＋cos A＝0， 所以tan A＝－1. 因为A∈(0，π)，所以A＝. 由正弦定理得sin C＝＝＝， 又0<C<，所以C＝. 答案　B 9．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若lg a－lg c＝lg sin B＝－lg，且B∈，则△ABC的形状是(　　) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析　∵lg a－lg c＝lg sin B＝－lg ， ∴＝sin B＝. ∵B∈，∴B＝. 由正弦定理，得＝＝， ∴sin C＝sin A＝sin ＝，化简得cos C＝0. ∵C∈(0，π)，∴C＝，则A＝π－B－C＝， ∴△ABC是等腰直角三角形．故选C. 答案　C 10．在△ABC中，AB＝，AC＝1，A＝30°，则△ABC的面积为________． 解析　根据三角形面积公式，得 S△ABC＝AB·AC·sin A＝××1×＝，故所求△ABC的面积为. 答案　 11．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B，求的取值范围． 解析　由于△ABC为锐角三角形， 则A，B，C∈， 即所以<B<. 由正弦定理得＝＝＝2cos B∈(，)． 故的取值范围是(，)． 学科网（北京）股份有限公司 $