专题32 计数原理与概率-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题32计数原理与概率 考点定位 1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主 2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，有时也与函数、不等式、数列交汇考查 3.概率重点考查古典概型、条件概率的基本应用 热点突破 热点（一）排列与组合 1（单选）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有(　　) A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 【解析】该五位数从左向右首位是4时，末尾取0或2，有2A＝48个；该五位数从左向右首位是5时，末尾取0，2或4，有3A＝72个．由分类计数原理知共有48＋72＝120个符合要求的五位数．故选B. 2（多选）若3男3女排成一排，则下列说法正确的是( ) A.共计有720种不同的排法 B.男生甲排在两端的共有120种排法 C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D.男女生相间排法总数为72种 【解析】3男3女排成一排共计有＝720(种)； 男生甲排在两端的共有2＝240(种)； 男生甲、乙相邻的排法总数为＝240(种)； 男女生相间排法总数2＝72(种).故选AD。 3（填空）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_____________(结果用数值表示)． 【解析】由题意，总数去掉选5名女教师的情况即可，故所求为C－C＝126－6＝120.故填120. 4（解答）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有1名女生； (2)两队长当选； (3)至少有1名队长当选； (4)至多有2名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选． 【解析】(1)1名女生，4名男生，故共有C·C＝350(种)． (2)将两队长作为一类，其他11个作为一类，故共有C·C＝165(种)． (3)至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长．故共有：C·C＋C·C＝825(种)． 或采用间接法：C－C＝825(种)． (4)至多有2名女生含有三类：有2名女生、只有1名女生、没有女生，故选法为：C·C＋C·C＋C＝966(种)． (5)分两类：第一类女队长当选：有C种选法； 第二类女队长不当选：有C·C＋C·C＋C·C＋C种选法． 故选法共有：C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种)． 【归纳反思】 1.解决排列、组合问题的一般步骤 (1)认真审题弄清楚要做什么事情； (2)要做的事情是分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类； (3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．　 2.排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化． 热点（二）二项式定理 1（单选）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为(　　) A．－40 B．－20 C．20 D．40 【解析】令x＝1，可得a＋1＝2，a＝1，的展开式中项的系数为C22(－1)3，x项的系数为C23，∴(2x－)5的展开式中常数项为C22(－1)＋C23＝40.故选D. 2（多选）已知函数f(x)＝，则下列关于f(x)的展开式的命题中，正确的是(　　) A．当n＝11时，f(x)的展开式共有11项 B．当n＝8时，f(x)的展开式第3项与第6项的二项式系数之比为1∶2 C．当n＝7时，f(x)的展开式中，各项系数之和为－1 D．若第4项和第5项的二项式系数同时最大，则n＝7 【解析】对于A，易知当n＝11时，f(x)的展开式共有12项，故A错误； 对于B，当n＝8时，f(x)的展开式第3项与第6项的二项式系数之比为＝＝，故B正确； 对于C，当n＝7时，f(x)＝，令x＝1，得f(1)＝1，故C错误； 对于D，在二项式系数中，C和C相等且最大，所以n＝7，故D正确．故选BD。 3（填空）若展开式的各项系数的绝对值之和为1 024，则展开式中x的一次项的系数为____________． 【解析】Tr＋1＝C()n－r＝(－3)r·Cx，由题意知展开式的各项系数绝对值之和为C＋|(－3)1C|＋(－3)2C＋…＋|(－3)nC|＝1 024，故(1＋3)n＝1 024，解得n＝5，令＝1，解得r＝1，所以展开式中x的一次项的系数为(－3)1C＝－15.故填－15. 4（解答）已知(1－2x)7＝a0＋