专题26 基本初等函数、函数与方程-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题26基本初等函数、函数与方程 考点定位 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型 2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现 热点突破 热点（一）基本初等函数的图象与性质 1（单选）函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] 【解析】当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，由f(x)在[－1，＋∞)上递减知解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0]．故选D。 2（多选）在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝loga(x－2)的图象可能是(　　) 【解析】当a＞1时，y＝ax在(－∞，＋∞)单调递增且其图象恒过点(0，1)， y＝loga(x－2)在(2，＋∞)单调递增且其图象恒过点(3，0)，则选项B符合要求； 当0＜a＜1时，y＝ax在(－∞，＋∞)单调递减且其图象恒过点(0，1)， y＝loga(x－2)在(2，＋∞)单调递减且其图象恒过点(3，0)， 则选项D符合要求；综上所述，选项B，D符合要求. 3（填空）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【解析】曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示， 由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． 4（解答）计算：(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n (2) ＝ . 【解析】(1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12. (2)原式＝＝ ＝＝＝＝＝1. 【归纳反思】 1.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同. 2.幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，，－1五种情况.　 3.指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围. 4.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化. 热点（二）函数的零点 1（单选）已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【解析】∵f(x)＝ln x－x－2在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝ln 1－－1＝ln 1－2<0，f(2)＝ln 2－0<0，f(3)＝ln 3－1>0，∴x0∈(2,3)，故选C. 2（多选）设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b可取的值可能是(　　) A.0 B. C. D.1 【解析】函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于函数y＝f(x)的图象与函数y＝b的图象有三个不同的交点，当x≤0时，f(x)＝(x＋1)ex，则f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0]上单调递增， 且f(－2)＝－，f(0)＝1，f(x)＝0，从而可得f(x)的图象如图所示， 通过图象可知，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝b的图象有三个不同的交点，则b∈(0，1].故选BCD。 3（填空）函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________． 【解析】∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)<0，∴(－3a＋1)·(1－a)<0，解得<a<1，∴实数a的取值范围是. 4（解答）已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，求实数a的取值范围。 【解析】设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|， 在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示． 由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以有两组不同解，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由图象得a>0，∴0<a<1或a>9. 【归纳反思】 判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在定理判断. (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.