专题10 二次函数压轴题-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）

专题10 二次函数压轴题 二次函数综合题是中考数学的热点和难点，几乎每年中考倒数第二题解答题都会出现，主要考查二次函数的图像与性质，二次函数与几何知识相互结合，对几何图形的性质要求熟练掌握，并且能运用到平面直角坐标系中。 1 二次函数与平行四边形 平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两种题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距离公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。 2 二次函数与等腰三角形 处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种：一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点间距离公式硬算） 3 二次函数与相似三角形 常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种： 1.导边处理（“SAS”法） 第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽； 第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程. 2.导角处理（“AA”法） 第一步:先找到一组关键的等角； 第二步,另两个内角分两类对应相等. 4 二次函数综合题中线段问题的解题通法 1.线段的数量关系问题: （1）在图中找出对应线段,弄清已知点和未知点,再联系函数设出只含有一个参数的未知点的坐标,然后用参数表示出线段的长度; （2）结合已知条件,列出满足线段数量关系的等式,求出参数值(注意排除不符合题意的数值). 2.线段的最值问题: （1）一条线段的最值问题,根据1（1）中所得的线段长度的式子,通过二次函数的性质求最值,继而得到线段的最值; (2)两条线段和或差的最值问题,一般利用轴对称模型解决. 3.周长的最值问题: 一般利用转化思想,将求周长的最值转化为求不定线段和的问题. 、 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长； (3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标 【答案】(1) (2) (3)P的坐标为：或． 【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解C的坐标，再求解B的坐标，A的坐标，设设抛物线为，把代入即可； （2）先求解抛物线的对称轴为直线，再求解直线为，可得F的坐标，从而可得答案； （3）如图，过作于，证明，可得，而，可得，则，当和相似时，显然与对称轴没有交点，不在的下方，只能在的上方，且与是对应角，再分两种情况分别求解即可． 【解析】（1）解：∵抛物线， 当，则，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， 设抛物线为，把代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，，即， ∴． （3）如图，过作于， ∵，，， ∴，，，， ∴，则， ∴，而， ∴， 而， ∴， ∴， 当和相似时，显然与对称轴没有交点， ∴不在的下方，只能在的上方，且与是对应角， 当时， ∴， ∴， ∴， 当， ∴， ∴，解得：， ∴． 综上：P的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的证明与是对应角是解（3）的关键． 2．在平面直角坐标系(如图)中，抛物线经过点、，与轴的交点为． (1)试求这个抛物线的表达式； (2)如果这个抛物线的顶点为，连接，，求； (3)如果这个抛物线的对称轴与直线交于点，点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点、，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意作出图形，如图，过点作轴交于点，得出，，进而根据正切的定义即可求解； （3）连接，证明，根据相似三角形的性质得出，求得直线的解析式，设，根据勾股定理求得的值，进而即可求解． 【解析】（1）解：将点、，代入，得 解得： ∴这个抛物线的表达式为； （2）解：∵, 则点， 令，解得：，则, ∴轴， 如图，过点作轴交于点， 则， ∴，， 在中，； （3）解：如图所示， 连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵ ∴， 即 ∵,，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 设过点,的直线解析式为， 则 解得： ∴直线的解析式为, 设点， ∵ ∴ 解得：或 ∵点在线段上 ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，角度问题，相似三角形的性质与判定，求正切，综合运用以上知识是解题的关键． 3．如图所示，在平面直角坐标系