解析几何重在设，设点VS设线 讲义-2023届高三数学二轮复习

解析几何重在设，设点VS设线 设点篇 椭圆单动点：在椭圆上找一点使它满足某种条件时设点；或者牵一“点”动全身时，设点。 例1．（2022浙江）如图，已知椭圆．设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点． （Ⅰ）求点到椭圆上点的距离的最大值； （Ⅱ）求的最小值． 【解析】 （Ⅰ）设椭圆上任意一点， 则，，， 而函数的对称轴为， 则其最大值为， ，即点到椭圆上点的距离的最大值为； 参数法： 例题2【2021全国高考乙卷理科11题】 设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】 策略一：三角换元 由题，，，则， 因为|，所以，即， 整理得， 因为，所以，即， 所以，即，又，所以也即 因此离心率，又，所以故选C． 策略二：常规设点 由题，，设，则， 因为，所以，即， 又，则，且，代入整理得， 该式是关于的二次不等式，即上恒成立， 此时二次函数开口向上， 判别式，对称轴， ，欲使上恒成立， 只需对称轴，即，也即 因此离心率，又，所以故选C． 例3.如图，已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线分别经过点求证：直线与直线的斜率之积为定值. 解法一、设点P，则可设直线PA：x=my-1,且 联立方程 消去x可得，则韦达定理可得 ，于是，回代可得； 又，化简得； 同理可得； 于是为定值。 特点：运算复杂，直线方程先设再代入。 解法二：设点P，则可设直线PA：x=my-1,且 联立方程 消去x可得，则韦达定理可得 ，于是 从而； 同理可得 于是直线AB的方程是 于是为定值。 特点：构造关于的线性关系式，且两者形式一样。 【例4】已知椭圆过点，两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值。 解析：（1）由题意得,，所以椭圆的方程为。 又，所以离心率。 （2）依题意画出草图如图所示。（点P是其它点动的“罪魁祸首”，故设P） 设，则.又, 所以直线的方程为。 令，得。 所以。 直线的方程为。 令，得.所以。 所以四边形的面积 所以四边形的面积为定值。 抛物线双动点设点：作差相除很容易得到一个斜率或者斜率的倒数，利用这一特征，抛物线我们一般多采用设点法 5.（2021•甲卷）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且．已知点，且与相切． (1)求，的方程； (2)设，，是上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．（此题为彭赛列闭合定理） 解、(1)因为与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线的方程为：，令，则， 根据抛物线的对称性，不妨设在轴上方，在轴下方，故， 因为，故，抛物线的方程为：， 因为与相切，故其半径为1，故． (2)设，，，，，，点均在抛物线上， 可设直线的方程为， 直线与圆相切，所以， 整理得， 又，代入得 同理可得， 于是直线的方程为 设到直线的距离为，则有 此时直线与的位置关系也为相切， 综上，直线与相切． 特点：抛物线上两点连线方程，圆相切距离等于半径，化简构造线性关系式。 第 1 页 共 六 页 学科网（北京）股份有限公司 $