专题4.20 探索三角形几何模型（双角平分线模型）（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题4.20 探索三角形几何模型 （双角平分线模型）（知识讲解） 几何模型1：内角平分线+内角平分线模型 如图一 模型2：内角平分线+外角平分线模型 如图二 模型三：外角平分线+外角平分线模型 如图三 模型四：飞镖+角平分线模型 1、 飞镖模型内角关系模型： 图四 2、 飞镖模型“内角平分线+内角平分线”模型： 图五 类型一、内角平分线+内角平分线模型 1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数． （2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角平分线的定义，求得，，再根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据（1）的方法求得，再结合条件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A． 解：（1）平分，平分， ， ∠ABC+∠ACB＝130°， ， ， （2）平分，平分， ， ， ， ， ∠BPC＝3∠A ， ． 【点拨】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 类型二、内角平分线+外角平分线模型 2．如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数 【答案】40° 【分析】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可． 解：由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y， 则有 ， ①-2×②可得∠A=2∠E， ∴∠E=∠A=40°． 【点拨】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 类型三、 外角平分线+外角平分线模型 3．如图，已知射线射线，、分别为、上一动点，、的平分线交于点.问、分别在、上运动的过程中，的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由. 【答案】不变，. 【分析】根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质可以得到∠C=90°-∠O． 解：∠C的度数不会改变． ∵∠ABE、∠BAF的平分线交于C， ∴∠CAB=∠FAB  ∠CBA=∠EBA ∴∠C=180°-（∠CAB +∠CBA） =180°-（∠ABE+∠BAF） =180°-（∠O+∠OAB+∠BAF） =180°-（∠O+180°） =90°-∠O=45°． 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 类型四、 飞镖内角平分线+内角平分线模型 4．（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数． （2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________． （3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可； （2）法一：根据以及和分别平分和，算出和,从而算出； 法二：根据三角形的外角定理得到∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB，再求出∠PAB＋∠PCB，故可求解； （3）法一：连接AC，根据三角形的内角和与角平分线的性质分别求出，，故可求解； 法二：连接BD并延长到G根据三角形的外角定理得到∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，再求出∠2＋∠4，故可求解． 解：（1）如图边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为 ∴ 又∵ ∴ ∵在四边形中，内角和为 ∴． （2）法一：∵和分别平分和 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 法二：连接BD，∵B、P、D三点共线 ∴BD、AF、CE交于P点 ∵∠APD=∠BAP+∠ABP，∠CPD=∠BCP+∠CBP， ∴∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB ∵和分别平分和， ∴∠PAC=∠PAB，∠PCA=∠PCB， ∵∠APC＝100°， ∴∠PAC＋∠PCA＝180°−100°＝80°， ∴∠PAB＋∠PCB＝80°， ∴∠B＝∠APC −（∠PAB＋∠PCB）＝100°−80°＝20°． （3）法一：如图：连接AC ∵， ∴ ∴ 又∵和分别平分和 ∴ ∴ ∴． 法二：如图，连接BD并延长到G， ∵∠ADG＝∠2＋∠APD，∠CDG＝∠4＋∠CPD， ∴∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC， ∴∠2＋∠4=30° 同理可得∠APC＝∠1＋∠3＋∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠B＝∠APC-∠2-∠4=100°-30°=70° ∴∠B＝70°． 【点拨】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 类型五、 双角平分线模型综合 5．探究： （1）如图1，在△ABC中，B