模型41 相似形——射影定理模型-备战2023年中考数学几何模型专项复习讲与练

相似形 模型（四十一）——射影定理模型 ◎结论：如图，∠ACB＝90º，CD⊥AB，则：DC²＝DA·DB AC²＝AD·AB BC²＝BD·BA AC·BC＝AB·CD 多个垂直先导角，相等互余少不了 ∠1＝∠2，∠3＝∠4 △ACD∽△CBD∽△ABC 以△ACD∽△CBD为例 ＝, DC²＝DA·DB 记：DC用了两次，D能写出两条共线线段 同理：AC²＝AD·AB BC²＝BD·BA 等面积：AC·BC＝AB·CD 公共边2＝共线边乘积 1．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在中，，于点D，下列结论错误的有（    ）个 ①图中只有两对相似三角形；②；③若，AD＝8，则CD＝4． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______． 2．（2022·全国·九年级专题练习）【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． (1)请证明“射影定理”中的结论③． (2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接． ①求证：． ②若，求的长． 1．（1）问题情境：如图1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用与相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． （2）结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明． 2．如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上． (1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？ (2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论． ①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 相似形 模型（四十一）——射影定理模型 ◎结论：如图，∠ACB＝90º，CD⊥AB，则：DC²＝DA·DB AC²＝AD·AB BC²＝BD·BA AC·BC＝AB·CD 多个垂直先导角，相等互余少不了 ∠1＝∠2，∠3＝∠4 △ACD∽△CBD∽△ABC 以△ACD∽△CBD为例 ＝, DC²＝DA·DB 记：DC用了两次，D能写出两条共线线段 同理：AC²＝AD·AB BC²＝BD·BA 等面积：AC·BC＝AB·CD 公共边2＝共线边乘积 1．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在中，，于点D，下列结论错误的有（    ）个 ①图中只有两对相似三角形；②；③若，AD＝8，则CD＝4． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】①根据相似三角形判定判断；②利用面积法证明即可；③利用相似三角形的性质求出BD，再利用勾股定理求出CD即可． 【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴， ∵， ∴△ACD∽△ABC∽△CBD，故①错误， ∵S△ACB=AC•BC=AB•CD， ∴BC•AC=AB•CD，故②正确， ∵△CBD∽△ABC， ∴， ∴， ∴BD=2或-10（舍弃）， 在Rt△CDB中，CD=，故③正确， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______． 【答案】 【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴, ∵ ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键． 2．（2022·全国·九年级专题练习）【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；