第四章 命题点7 相似三角形及其实际应用（基础知识训练册）-【一战成名】2023山西中考数学中考源动力中考总复习

一战成名·山西数学 命题点７　相似三角形及其实际应用 （１０年５考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） ２０２２版课标要求 １．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割； ２．通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比； ３．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； ４．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似；三边成比例的两个三角形相似； ５．了解相似三角形判定定理的证明； ６．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方； ７．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题． 要点归纳 １．比例线段：在四条线段ａ、ｂ、ｃ、ｄ中，如果ａ与ｂ的比等于ｃ与ｄ的比，即　　　　，那么这四 条线段ａ、ｂ、ｃ、ｄ叫成比例线段，简称比例线段． ２．比例的性质 基本性质 如果 ａ ｂ＝ ｃ ｄ（ｂ，ｄ≠０），那么ａｄ＝ｂｃ；如果ａｄ＝ｂｃ，那么 ａ ｂ＝　　　　（ｂ，ｄ≠０） 等比性质 如果 ａ ｂ＝ ｃ ｄ＝…＝ ｍ ｎ（ｂ，ｄ，…，ｎ≠０，ｂ＋ｄ＋…＋ｎ≠０），那么 ａ＋ｃ＋…＋ｍ ｂ＋ｄ＋…＋ｎ＝ ａ ｂ 合比性质 如果 ａ ｂ＝ ｃ ｄ（ｂ，ｄ≠０），那么 ａ＋ｂ ｂ ＝ ｃ＋ｄ ｄ；如果 ａ ｂ＝ ｃ ｄ（ｂ，ｄ≠０），那么 ａ－ｂ ｂ ＝ｃ－ｄｄ ３．黄金分割 一般地，点Ｃ把线段ＡＢ分成两条线段ＡＣ和ＢＣ，如果ＡＣＡＢ＝ ＢＣ ＡＣ，那么称线段ＡＢ被点Ｃ黄金分 割，点Ｃ叫作线段ＡＢ的黄金分割点，ＡＣ和ＡＢ的比叫作黄金比（ＡＣＡＢ＝ 槡５－１ ２ 或ＡＣ≈０．６１８ＡＢ） （简记为： 短 长 ＝长 全 ＝槡５－１２ ）． ４．平行线分线段成比例 （１）基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 如图①，当ｌ３∥ｌ４∥ｌ５时，有 ＡＢ ＢＣ＝　　　　， ＡＢ ＡＣ＝　　　　等． １７ 一战成名·山西数学 （２）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 如图②，当ＤＥ∥ＢＣ时，有ＡＤＤＢ＝　　　　， ＡＤ ＡＢ＝　　　　； 图① 　　　 图② 　　　 图③ 如图③，当ＤＥ∥ＢＣ时，有ＡＢＡＤ＝ ＡＣ ＡＥ＝　　　　． ５．相似三角形的性质 （１）相似三角形的对应角　相等　，对应边　成比例　； （２）相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线的比都等于　相似比　； （３）相似三角形的周长比等于　相似比　，面积比等于　相似比的平方　． ６．相似三角形的判定 （１）判定定理 图示 文字表述 判定定理一 　　 两角对应相等的两个三角形相似 判定定理二 　　 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似 判定定理三 　　 三边对应成比例的两个三角形相似 （２）判定思路 ①有一对等角———找 另一对等角{该角两边对应成比例　 　②有两边对应成比例———找 夹角相等 第三边对应成比例{ 有一对直角 ③直角三角形———找 一对锐角相等 两组直角边的比相等{ 斜边与直角边对应成比例 ④ 等腰三角 形———找 顶角相等 一对底角相等 底和一腰对应成比例 （底与腰确定        ） ２７ 一战成名·山西数学 ７．常考相似模型 类型 图形特征 图形 ８ 字型 两个三角形中有“一组对顶角和一组 等角” 　ＢＣ∥ＤＥ 　正８字型 　　 ∠Ａ＝∠Ｃ或∠Ｂ＝∠Ｄ 斜８ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 字型 即时巩固 １．如图，Ｆ是矩形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，射线ＢＦ交ＡＤ的延长线于点Ｅ，已知ＤＥ＝２ＢＣ ＝４，ＣＤ＝６，则ＢＦ的长为　２槡２　． 第１题图 　　　 第２题图 　　　 第３题图 ２．如图，直角梯形ＡＢＣＤ中，∠ＢＣＤ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝ＣＤ，Ｅ为梯形内一点，且∠ＢＥＣ ＝９０°，将△ＢＥＣ绕Ｃ点顺时针旋转９０°使ＢＣ与ＤＣ重合，得到△ＤＣＦ，连接ＥＦ交ＣＤ 于Ｍ．已知ＢＣ＝５，ＣＦ＝３，则ＤＭ∶ＭＣ的值为　４