第三章 命题点9 二次函数的图象与性质（基础知识训练册）-【一战成名】2023山西中考数学中考源动力中考总复习

一战成名·山西数学 命题点９　二次函数的图象与性质（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） ２０２２版课标要求 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质． 要点归纳 １．二次函数的概念 概念：形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０）的函数，特别地，当 ａ≠０，ｂ＝ｃ＝０时，ｙ＝ａｘ２ 是二次函数的特殊形式． （１）ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０） 一般式 ｙ＝ｘ２＋２ｘ－４ ｙ＝１２ｘ ２－４ ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋４ 图象 开口方向（由ａ决定， ａ＞０，开口向上； ａ＜０，开口向下） 顶点坐标 （－ｂ２ａ， ４ａｃ－ｂ２ ４ａ ） 对称轴 （直线ｘ＝－ｂ２ａ） 增减性 当ｘ＜－１时，ｙ随ｘ的 增大而减小；当ｘ＞－１ 时，ｙ随ｘ的增大而增大 当ｘ＜０时，ｙ随ｘ的增 大而减小；当 ｘ＞０时， ｙ随ｘ的增大而增大 当ｘ＜１时，ｙ随ｘ的 增大而增大；当ｘ＞１ 时，ｙ随 ｘ的增大而 减小 最值（ｙ＝４ａｃ－ｂ ２ ４ａ ） 当ｘ＝－１时，ｙ有最小 值，ｙ最小 ＝－５ 当 ｘ＝０时，ｙ有最小 值，ｙ最小 ＝－４ 当ｘ＝１时，ｙ有最大 值，ｙ最大 ＝５ 与ｘ轴交点坐标 （当ｙ＝０时，ｘ的 值即为横坐标） ５４ 一战成名·山西数学 续表 与ｙ轴交点坐标 （当ｘ＝０时，ｙ的值 即为纵坐标） （２）ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０） 顶点式 ｙ＝－２（ｘ－１）２＋４ ｙ＝２（ｘ＋１）２＋１ 图象 开口方向（由ａ决定，ａ＞０， 开口向上；ａ＜０，开口向下） 顶点坐标（ｈ，ｋ） 对称轴（直线ｘ＝ｈ） 直线ｘ＝１ 直线ｘ＝－１ 增减性 当 ｘ＜１时，ｙ随 ｘ的增大而 增大；当ｘ＞１时，ｙ随 ｘ的增 大而减小 当ｘ＜－１时，ｙ随ｘ的增大而 减小；当 ｘ＞－１时，ｙ随 ｘ的 增大而增大 最值 当ｘ＝１时，ｙ有最大值， ｙ最大 ＝４． 当ｘ＝－１时，ｙ有最小值， ｙ最小 ＝－１． 与ｘ轴交点坐标（当ｙ＝０时， ｘ的值即为横坐标） 与ｙ轴交点坐标（当ｘ＝０时， ｙ的值即为纵坐标） （３）ｙ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）（ａ≠０） 交点式 ｙ＝２（ｘ－１）（ｘ－４） ｙ＝－２（ｘ＋１）（ｘ－３） 图象 ６４ 一战成名·山西数学 续表 开口方向（由ａ决定，ａ＞０， 开口向上；ａ＜０，开口向下） 顶点坐标（ｈ，ｋ） 对称轴（直线ｘ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ） 直线ｘ＝５２ 直线ｘ＝１ 增减性 当ｘ＜５２时，ｙ随 ｘ的增大而减 小；当ｘ＞５２时，ｙ随 ｘ的增大而 增大 当ｘ＜１时，ｙ随 ｘ的增大而增 大；当ｘ＞１时，ｙ随 ｘ的增大 而减小 最值 当ｘ＝５２时，ｙ有最小值， ｙ最小 ＝－ ９ ２ 当ｘ＝１时，ｙ有最大值， ｙ最大 ＝８ 与ｘ轴交点坐标（当ｙ＝ ０时，ｘ的值即为横坐标） 与ｙ轴交点坐标（当ｘ＝ ０时，ｙ的值即为纵坐标） ２．二次函数比较函数值大小的四种方法 例：已知点Ａ（１，ｙ１），Ｂ（２，ｙ２）在抛物线ｙ＝－（ｘ＋１） ２＋２上，则下列结论正确的是 （　Ａ　） Ａ．２＞ｙ１＞ｙ２ Ｂ．２＞ｙ２＞ｙ１ Ｃ．ｙ１＞ｙ２＞２ Ｄ．ｙ２＞ｙ１＞２ 方法 步骤 例题分析 代入 比较法 直接代入ｘ的值求解比较 ｘ１＝１，ｙ１＝－２；ｘ２＝２，ｙ２＝－７，则２＞ｙ１＞ｙ２ 增减性 比较法 （１）根据对称性，将两点坐标转化到 对称轴的同侧； （２）再根据二次函数增减性比较 由对称轴为直线ｘ＝－１，得ｙ＝２为最大值， 点Ａ，点Ｂ在ｙ轴右侧，ｙ随ｘ的增大而减小， 故２＞ｙ１＞ｙ２ 距离 比较法 （１）ａ＞０，点到对称轴的距离越小，函 数值越小； （２）ａ＜０，点到对称轴的距离越小，函 数值越大 ｄ１＜ｄ２＜ｄ３ ｙ１＜ｙ２＜ｙ３ 　　 ｄ１＜ｄ２＜ｄ３ ｙ１＞ｙ２＞ｙ３ ａ＝－１＜０，ｙ＝２时对应点坐标为（－１，２）， 对应坐标与点 Ａ，Ｂ到对称轴的距离分别为 ０，２，３，０＜２＜３，则２＞ｙ１＞ｙ２ ７４ 一战成名·山西数学 续表 数形 结合法 根据已知条件画出图形，确定点的位 置，根据图象的上下位置关系确定 对称轴为直线ｘ＝－１，如图，则２＞ｙ１＞ｙ２ 即时突破 １．已知二次函数的表达式为ｙ＝ｘ２－ｘ． （１）对称轴为　　　　　　，顶点坐标为　　　　　　； （２）当ｘ＝　　　　时，函数有最小值　　　　； （３）若ｙ随ｘ的增大而增大，则ｘ的取值范围为　　　　； （４）若点Ａ（－槡２，ｙ１），Ｂ（槡２，ｙ２），Ｃ（２，ｙ３）在函数图象上，则　　　　　　． ２．已知二次函数ｙ＝ｘ２－６ｘ＋８． （１）将ｙ＝ｘ２－６ｘ＋８化成ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ的形式； （２）当０≤ｘ≤４时，ｙ的最小值是　－