第二部分 题型六 综合与探究（二次函数与几何图形综合题）（精练册）-【一战成名】2023山西中考数学中考源动力中考总复习

一战成名·山西数学 题 型 六 综 合 与 探 究 题型六　综合与探究（二次函数与几何图形综合题） 类型１　二次函数与线段问题［（２０２２．２３（３）；２０２０．２３（２）；２０１８．２３（３）；２０１７．２３）］ １．（２０２２山西百校联考公益性考试节选）如图 ①，抛物线ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３与 ｘ轴交于 Ａ，Ｂ 两点（点Ａ在点Ｂ的左侧），与ｙ轴交于点Ｃ， 点Ｄ在抛物线上，且纵坐标为３． （１）求点 Ａ，Ｂ的坐标及直线 ＡＤ的函数表 达式． （２）如图②，若点Ｐ是直线ＡＤ上方抛物线上 的一个动点，连接ＰＢ，与ＡＤ相交于点Ｅ， 设点Ｐ的横坐标为ｍ，求ＰＥＢＥ的最大值． 图① 图② 备用图 第１题图 解：（１）Ａ（－１，０），Ｂ（３，０），直线 ＡＤ的函 数表达式为ｙ＝ｘ＋１； （２）如解图，过点 Ｐ作 ＰＦ∥ｘ轴，交 ＡＤ于 点Ｆ， 设点Ｐ（ｍ，－ｍ２＋２ｍ＋３），Ｆ（ｎ，ｎ＋１）， ∴ｎ＋１＝－ｍ２＋２ｍ＋３， ∴ｎ＝－ｍ２＋２ｍ＋２， ∴ＰＦ＝｜－ｍ２＋２ｍ＋２－ｍ｜， ∴ＰＦ＝－ｍ２＋２ｍ＋２－ｍ＝－ｍ２＋ｍ＋２， ∵ＰＦ∥ｘ轴，∴△ＰＥＦ∽△ＢＥＡ， ∴ＰＥＢＥ＝ ＰＦ ＢＡ＝ －ｍ２＋ｍ＋２ ４ ＝－ １ ４（ｍ－ １ ２） ２ ＋９１６，∵－ １ ４＜０，∴当ｍ＝ １ ２时， ＰＥ ＢＥ的最大 值为 ９ １６． ２．（２０２２济南节选）抛物线ｙ＝ａｘ２＋１１４ｘ－６与 ｘ轴交于 Ａ（ｔ，０），Ｂ（８，０）两点，与 ｙ轴交于 点Ｃ，直线ｙ＝ｋｘ－６经过点Ｂ．点Ｐ在抛物线 上，设点Ｐ的横坐标为ｍ． （１）求抛物线的表达式和ｔ，ｋ的值； （２）如图，若点 Ｐ在直线 ＢＣ上方的抛物线 上，过点Ｐ作 ＰＱ⊥ＢＣ，垂足为 Ｑ，求 ＣＱ ＋１２ＰＱ的最大值． 第２题图 解：（１）将Ｂ（８，０）代入ｙ＝ａｘ２＋１１４ｘ－６， ∴６４ａ＋２２－６＝０， ∴ａ＝－１４， ∴ｙ＝－１４ｘ ２＋１１４ｘ－６， 当ｙ＝０时，－１４ｔ ２＋１１４ｔ－６＝０， 解得ｔ＝３或ｔ＝８（舍）， ∴ｔ＝３， ∵Ｂ（８，０）在直线ｙ＝ｋｘ－６上， ∴８ｋ－６＝０， 解得ｋ＝３４，∴ｙ＝ ３ ４ｘ－６； （２）ＣＱ＋１２ＰＱ的最大值是 １６９ １６． （详解见较难题解析Ｐ                                                            ） ３６１ 一战成名·山西数学 题 型 六 综 合 与 探 究 ３． 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ ９ ４ｘ＋ｃ（ａ≠０）与 ｘ轴交于 Ａ、Ｂ两点，与 ｙ轴 交于点Ｃ，且点Ｂ的坐标为（４，０），点Ｃ的坐 标为（０，３）． （１）求抛物线和直线ＢＣ的函数表达式； （２）若点Ｐ为直线ＢＣ上方抛物线上一动点，设 Ｐ的横坐标为ｔ（０＜ｔ＜４），过点Ｐ作ＰＱ⊥ｘ 轴，交直线ＢＣ于点Ｑ，交ｘ轴于点Ｄ． ①请求出线段ＰＱ的长（用含ｔ的代数式 表示）； ②请求出当点 Ｑ为线段 ＰＤ的三等分点 时，点Ｐ的坐标． 第３题图 ４．（２０２２太原二模）综合与探究 如图①，抛物线ｙ＝－３４ｘ ２＋９４ｘ＋３与ｘ轴交 于Ａ，Ｃ两点，与 ｙ轴交于点 Ｂ，顶点为点 Ｄ． 连接ＡＢ，ＢＣ．将△ＡＢＣ沿ｘ轴向右平移ｍ个 单位长度得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，线段Ａ′Ｂ′与线段ＢＣ 交于点Ｅ． （１）求直线ＣＤ的函数表达式； （２）当点Ｅ是Ａ′Ｂ′的三等分点时，求ｍ的值； （３）如图②，当 ｍ＝６０３７时，线段 Ｂ′Ｃ′与 ＣＤ交 于点Ｆ，连接ＥＦ，Ｂ′Ｂ．判断点Ｆ关于直线 Ａ′Ｂ′的对称点 Ｆ′是否在抛物线上，并说 明理由． 图① 　　 图② 第４题图 解：（１）直线ＣＤ的函数表达式为ｙ＝－１５８ｘ ＋１５２；（详解见较难题解析Ｐ） （２）ｍ的值为５３或 １０ ３； （３）点Ｆ关于直线Ａ′Ｂ′的对称点Ｆ′在抛物 线上． （详解见较难题解析Ｐ                                                                        ） ４６１ 一战成名·山西数学 题 型 六 综 合 与 探 究 类型２　二次函数与面积问题［２０２１．２３（２）②，２０１９．２３（２），２０１５．２４（３），２０１４．２４（２）］ ５．（２０２２广东）如图，抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ｂ，ｃ 是常数）的顶点为Ｃ，与ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两点， Ａ（１，０），ＡＢ＝４，点Ｐ为线段ＡＢ上的动点，过 Ｐ作ＰＱ∥ＢＣ交Ａ