热点攻关 “解三角形”大题的常考题型（跟踪训练）-【聚焦重难 专题透析】2023年高考数学二轮复习精品课件+重难点题型突破（全国通用）

龙城一中 数学教研组 二轮复习 专题透析 跟踪训练 热点攻关 “解三角形”大题的常考题型 跟踪训练 1.如图,在△ABC中,AB=6,cos B=,点D在BC边上,AD=4,∠ADB为锐角. (1)若AC=6,求线段DC的长度; (2)若∠BAD=2∠DAC,求sin C的值. 【解析】(1)在△ABD中,由余弦定理得cos B===, ∴BD=5或BD=4. 当BD=4时,cos∠ADB=<0,则∠ADB>,不符合题意,舍去; 当BD=5时,cos∠ADB=>0,则∠ADB<,符合题意. ∴BD=5.在△ABC中,cos B===, ∴BC=12或BC=-3(舍去).∴DC=BC-BD=7. (2)记∠DAC=θ,则∠BAD=2θ.在△ABD中,cos∠BAD=cos 2θ==, ∴2θ为锐角,得sin2θ==,sin 2θ=, 即sin θ=,cos θ=. (法一)sin 3θ=sin 2θcos θ+cos 2θsin θ=,同理,cos 3θ=. 由cos B=知sin B=, ∴sin C=sin(π-B-3θ)=sin(B+3θ)=sin Bcos 3θ+cos Bsin 3θ=. (法二)cos∠BDA===,sin∠BDA=. ∴sin C=sin(∠BDA-θ)=sin∠BDAcos θ-cos∠BDAsin θ=. 2.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a-b)cos C=ccos B. (1)求C; (2)若c=b,设an=2n,n∈N*,求数列的前2n项和S2n. 【解析】(1)由正弦定理得(2sin A-sin B)cos C=sin Ccos B, 故2sin Acos C=sin Bcos C+sin Ccos B,可得2sin Acos C=sin(B+C)=sin A, 又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos C=,又因为C∈(0,π),所以C=. (2)由正弦定理得===,所以sin B=, 又因为c>b,则B=,A=, 所以an=2n= S2n=a1+a2+a3+…+a2n=22+24+26+…+22n==×4n+1-. 3.(2022·江西质检)已知△ABC的面积为S,周长为l,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足S=b2sin C,l=3acos C. (1)求cos A的值; (2)若l=4+,求b. 【解析】(1)∵S=absin C,∴absin C=b2sin C,∴a=2b. 又l=a+b+c=3b+c,∴3b+c=3acos C, 由正弦定理可知,3sin B+sin C=3sin Acos C, ∵sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, ∴3cos Asin C+sin C=0,且sin C≠0,∴cos A=-. (2)由余弦定理可知,a2=b2+c2-2bccos A,又a=2b,故4b2=b2+c2+bc, 化简得3()2+2()-9=0,解得=(=<0,舍去). ∴c=b,∴l=a+b+c=b. 故b=4+,解得b=. 4.(2022·安徽质检)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,2bsin B=asin Bcos C+csin Acos B. (1)求; (2)若c=1,求B的最大值. 【解析】(1)(法一)由正弦定理得2sin2B=sin Asin Bcos C+sin Csin Acos B=sin A(sin Bcos C+sin Ccos B)=sin2A, 即2b2=a2,所以=. (法二)由正、余弦定理得2b2=abcos C+accos B=+=a2, 解得=. (2)cos B===(b+)≥, 当且仅当b=,即b=1时等号成立, 因为B∈(0,π),f(x)=cos x在(0,π)上单调递减, 所以0<B≤,即B的最大值为. 5.(2022·湖北二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a2+c2-b2=ac,2acos C=2b+c. (1)求角C的大小; (2)若D,E是边BC上的两点,∠DAE=,b=2,求△ADE的面积S的最小值. 【解析】(1)∵a2+c2-b2=ac,∴2accos B=ac, ∴cos B=,∵B∈(0,π),∴B=. 又∵2acos C=2b+c,∴由正弦定理得2sin Acos C=2sin B+sin C=2sin(A+C)+sin C=2sin Acos C+2cos Asin C+sin C, ∴2cos Asin C+sin C=0. ∵C∈(0,π),∴sin C≠0,∴cos A=-,∴