(教用word)第6章 6.2 6.2.4 组合数-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版2019)

6.2.4　组合数 学习任务目标 1．了解组合数的定义． 2．掌握组合数公式及其推导方法． 3．能用组合数公式计算组合应用问题．(数学运算) (1)排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 (2)五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成10条线段；如果是有向线段，共有20条． 知识点一　组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 知识点二　组合数公式 (1)C＝＝，其中n，m∈N*，并且m≤n． (2)C＝． 规定C＝1． [微训练] 1．若C＝28，则n＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 B　解析：C＝＝28，解得n＝8． 2．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A的含有3个元素的子集共有________个． 10　解析：从集合A的5个元素中选出3个元素构成一个子集，是组合问题，其个数为C＝＝10． 知识点三　组合数的性质 性质1：C＝C． 性质2：C＝C＋C． [微训练] 1．C＋C＋C＝(　　) A．C B．C C．C D．C D　解析：C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C． 2．若C＝C，则x的值为________． 2或4　解析：由C＝C得2x－1＝x＋3或2x－1＋x＋3＝8，解得x＝4或x＝2． 组合数的计算与证明 1．求下列各式的值． (1)C＋C；(2)C×C－C；(3)C－C；(4)C÷C． 解：(1)C＋C＝＋＝10＋5＝15． (2)C×C－C＝×1－1＝45－1＝44． (3)C－C＝－＝15－6＝9． (4)C÷C＝÷＝20÷70＝． 2．证明：mC＝nC． 证明：mC＝m· ＝ ＝nC． 【类题通法】 1．组合数公式C＝体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到． 2．组合数公式C＝的主要作用：一是计算m，n较大时的组合数；二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．另外，当m>时，计算C可用性质C＝C转化，减少运算量． 有限制条件的组合问题 课外活动小组共13人，其中男生8人、女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某项活动，试依据条件完成下列问题． 探究1：至少有一名队长当选，有多少种选法？ 提示：至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有CC＋CC＝825(种)． 探究2：至多有两名女生当选，有多少种选法？ 提示：至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有CC＋CC＋C＝966(种)． 探究3：既要有队长，又要有女生当选，有多少种选法？ 提示：分两种情况： 第一种：女队长当选，有C种； 第二种：女队长不当选，有(CC＋CC＋CC＋C)种． 故共有C＋CC＋CC＋CC＋C＝790(种)． 【例1】 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙3人必须参加； (3)甲、乙、丙3人不能参加； (4)甲、乙、丙3人只能有1人参加． 解：(1)有C＝792(种)不同的选法． (2)甲、乙、丙3人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36(种)不同的选法． (3)甲、乙、丙3人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126(种)不同的选法． (4)甲、乙、丙3人只能有1人参加，分两步：第1步，从甲、乙、丙中选1人，有C种选法；第2步，从另外的9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378(种)不同的选法． 1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少有1名女生，则不同的选法种数为(　　) A．120 B．84 C．52 D．48 C　解析：方法一(间接法)：C－C＝52(种)不同的选法． 方法二(直接法)：分1名女生、2名女生、3名女生三类，共有CC＋CC＋CC＝52(种)不同的选法． 2．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有(　　) A．36种 B．40种 C．44种 D．48种 B　解析：根据题意，将9个数分为2组， 一组为奇数：1，3，5，7，9，一组为偶数：2，4，6，8． 若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论： ①取出的3个数全部为奇数，有C＝10(种)取法； ②取出的3个数中有1个奇数，2个偶数，有CC＝30(种)取法， 因此，和为奇数的不同取法共有10＋30＝40(种)． 分组分配问题 现在有6本不同的书，试根据条件完成下列分组分配问题． 探究1：6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人2本