圆锥曲线专题复习第一讲：弦长问题讲义-2023届高三数学一轮复习

第一讲：弦长问题 【学习目 】 基 目 ： 握椭 ，双曲线，抛物线的简单性质，弦长公式的 导过 ； 用目 ： 握椭 ，双曲线，抛物线的弦长公式的 用， 能够熟练 用弦长公式 解长 ； 拓 目 ：能够熟练 用基 不等式等方法， 解 锥曲线弦长等 值. 养目 ： 过数形结 ，转化与化归等思想方法，培养独 思考 辑 能 ，提升学生的数学运算 数学抽 的 心 养. 【基 知识】 1. 弦长公式 设M (x1，y1)，N (x2，y2) 两点距离公式 |MN | = (x1− x2)2+ (y1− y2)2． (1)若M、N 直线 y= kx+m上，代入化简，得 |MN | = 1+ k2 x1- x2 = (1+ k2) [(x1+ x2)2- 4x1x2]; (2)若M、N所 直线方 为 x= ty+m，代入化简，得 |MN | = 1+ t2 y1- y2  (3)抛物线的弦长公式： 若直线 l : y= kx+m不过焦点，与双曲线 y2= 2px(p> 0)相交于A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点，弦长 |AB| = 1+ k2 x1- x2 = (1+ k2) [(x1+ x2)2- 4x1x2]，若直线 l : y= kx+m过焦点，与双曲线 y2= 2px(p> 0) 相交于A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点， 弦长 |AB| = x1+ x2+ p= 2p sin2θ . 2. 基 不等式 (1)a+ b≥ 2 ab(a> 0,b> 0)，当且仅当 a= b时，等号成 ； (2)ab≤ a+ b2  2 ≤ a 2+ b2 2 ，当且仅当 a= b时，等号成 . 【考点 】 a 考点一： 弦长 1.椭 C：x2 2 + y 2 b2 = 1 a> b> 0 左右焦点为F1，F2，离心 为 32 ，点M 1, 3 2  椭 C上． (1) 椭 C的 准方 ； (2)经过点A 2,3 ，倾斜角为 π4 直线 l与椭 交于B,C两点， BC ． 2.设F1､F2 为双曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a> 0,b> 0 的左右焦点，且F2也为抛物线 y2= 8x的的焦点，若 点P 0,2b ，F1，F2 等 直角三角形的三个顶点. (1)双曲线C的方 ； (2)若直线 l：y= 12 x- 1与双曲线C相交于A,B两点， AB . 3.已知抛物线C : y2= 2px p> 0 的焦点为F，第四 的一点P(2,m) C上，且 PF = 4. (1) C的方 m的值； (2)若直线 l交C于A,B两点，且线段AB中点的 为 1,1 ， 直线 l的方 及线段AB的长. 变式训练1.已知椭 的中心 原点，焦点 x轴上，离心 为 32 且过点P - 3, 1 2 ， (1) 椭 的 准方 ； (2)倾斜角为 45°的直线 l过椭 的右焦点F交椭 于A ､B两点， AB  变式训练2.已知双曲线C : x 2 a2 - y 2 b2 = 1 a> 0,b> 0 的渐近线方 为 3x± 2y= 0，且过点 2 2, 3 ． (1) 双曲线C的方 ； (2)过双曲线的一个焦点 斜 为 1的直线 l交双曲线于A,B两点， 弦长 AB ． 变式训练3.已知抛物线C : y2= 2px(p> 0)的准线方 为 x=-2，点F 抛物线C的焦点. (1) 抛物线的方 ； (2)斜 为 2的直线过点F，且与C交于A，B两点， 线段AB的长. 考点二：已知弦长 直线 1.已知椭 x 2 a2 + y 2 b2 = 1 a> b> 0 过椭 右焦点F2，且 直于 x轴的直线与椭 第一 交于点P，已 知椭 的左焦点为F1 - 3,0 ，△PF1F2的面积 32 ． (1) 椭 的 准方 ； (2)设直线 l : y= kx+ 1与椭 交与M、N两点，当 MN = 8 25 时， 直线 l的方 ． 2.已知双曲线Γ : x2- y 2 b2 = 1 b> 0 ，直线 l与Γ交于P、Q两点． (1)若点 3,0  双曲线Γ的一个焦点， Γ的渐近线方 ； (2)若点P的 为 -1,0 ，直线 l的斜 等于 1，且 PQ = 8 23 ， 双曲线Γ的离心 ． 3.已知抛物线C：y2= 2px p> 0 上一点P 1,m  焦点F的距离为 2． (1) 实数 p的值； (2)若直线 l过C的焦点，与抛物线交于A,B两点，且 AB = 8， 直线 l的方 ． 变式训练1.椭 C的方 为 x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a> b> 0)，右焦点为F( 2,0)，离心 为 63 ． (1) 椭 C的方 ； (2)若直线