天津市咸水沽第一中学2021届高三下学期模拟检测四数学试卷（21.5）

咸一中2021年高三毕业班高考模拟试卷（四） 数学试卷 温馨提示: 1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）试卷满分150分，相应分值已在题目中标出。 2.考试时间120分钟，考试结束后只上交答题卡，试卷由学生保存。 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设全集为，，，则(    ) A. B. C. D. 2. 设，那么“”是“ ”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法中不正确的是(    ) A. 由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 D. 若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系 4. ，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 6. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为(    ) A. B. C. D. 7. 已知函数是偶函数若将曲线向左平移个单位长度后得到曲线，若方程在有且仅有两个不相等实根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为(    ) A. B. C. D. 9. 已知函数，若函数存在两个零点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 10. 为虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为______． 11. 展开式中的常数项是________． 12. 已知两条直线，，若，则直线与之间的距离______． 13. 甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则________． 14. 已知函数是定义在区间上的减函数，若，则实数的取值范围是          ． 15. 已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为          ． 三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 本小题分 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，A. 求 的值 求的值． 17. 本小题分 四棱锥中，面，，，是的中点，在线段上，且满足． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求二面角的余弦值； Ⅲ在线段上是否存在点，使得所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 18. 本小题分 正项数列的前项和满足：． 求数列的通项公式； 令，数列的前项和为，证明对于任意的，都有． 19. 本小题分 椭圆的离心率，． 求椭圆的方程； 如图，，，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点直线交于点，设的斜率为，的斜率为，证明为定值。 20. 本小题分 设函数其中，，，已知它们在处有相同的切线． 求函数，的解析式； 求函数在，上的最小值； 若对，恒成立，求实数的取值范围． 高三 数学 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸一中2021年高三毕业班高考模拟试卷（四） 数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D C D B B C 10.   11.   12.   13.   14.   15.   16. 解：Ⅰ中，，，， 由正弦定理得：，即， ； Ⅱ由知，， ，又， ，， ， 在中， ， ．  17. 证明：由题意可得，，两两互相垂直， 如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，， 设平面的法向量为， ， ， ， 令， ， 又， ， ， 不在平面内，  平面； 解：设点坐标为， ，， 由， ， ， ， 设平面的法向量为， 由 ， 令， ， ， 又由图可知，该二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为 设， ， ， ， 与面所成角的余弦值是， 其正弦值为， ， 整理得：， ， 存在满足条件的点，且．   18. 解：因为数列的前项和满足： ， 所以当时，，   即， 解得或，             因为数列都是正项，  所以， 因为，， 所以， 解得或